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大学1年生で学ぶ数学「解析学・微積分」の要点まとめ,勉強法の解説。 入門用に全体像・概要をわかりやすく紹介

講義ノートの目次へ 大学一年生で学ぶ数学のうち,「解析学の基礎(微積分)」について勉強法やポイントを,図表を交えつつ分かりやすく解説。つまずきがちな微積分の全体像をつかめる。 解析学は,「微小量の厳密な理論」だ。これを学ぶ理由・価値は何なの…

変分法・変分学を学ぶオンライン教科書PDF。物理数学や量子化学に役立つ関数解析的アプローチ

講義ノートの目次へ 変分法・変分学を学ぶための,講義ノートPDF。 変分法は物理数学の必須テーマで, 「汎関数の停留点,つまり最適な関数や,最適な曲線を見つける」 「オイラー・ラグランジュ方程式を導出する」 といったテーマに役立つツールだ。 この考…

大学の数学で,「結び目理論」に入門するための教科書PDF。応用の多いトポロジー・位相幾何学の一分野

講義ノートの目次へ 結び目理論(Knot Theory)を独学で学ぶための教科書PDFを集めた。 結び目理論は,空間内の図形の性質を調べる 位相幾何学の特殊な一分野とみなせる。 数学的には,多様体や基本群,不変量としての多項式など, 代数系の用語を道具として…

数学の「超越数論」を独学するための教科書PDF。「代数的数論」の発展分野で,未解決問題多し

講義ノートの目次へ 数学・数論の一分野で,「超越数論」を勉強するためのフリーPDFのまとめ。円周率πや,ネイピア数 e などの「超越数」を研究する分野。 超越数とは,「代数的数(=代数方程式の解)ではない数」のことである。したがって,代数的数論の延…

数学の「ABC予想」の証明の原論文PDFと,わかりやすい解説資料。フェルマーの最終定理の別解を与える「宇宙際タイヒミュラー理論」

講義ノートの目次へ ABC予想とは,数論のディオファントス解析の最重要問題。ABC予想の主張: 互いに素な自然数 a, b, c が a + b = c, a < b を満たすとする。また,積 abc の互いに異なる素因数全体の積を Rとおく。任意の正数 e に対し, c > R^{1 + e}…

代数幾何学で,1億円の未解決問題「ホッジ予想」の解説PDFや動画

講義ノートの目次へ 解決すれば1億円の懸賞金をもらえるホッジ予想の解説PDFと,レクチャーの動画。 ホッジ予想は,21世紀の最大の難問の一つ。クレイ数学研究所が指定した「ミレニアム懸賞問題」7つの中に入っている。 その7つの中で,ホッジ予想は代…

フェルマー予想と「谷山・志村予想」の証明の原論文と,最終定理の概要を理解するためのPDF

講義ノートの目次へ フェルマー予想の証明PDFと,その概要を理解するための数論幾何の資料。 フェルマー予想とは?(フェルマー・ワイルズの定理) フェルマー予想の証明に関係した資料 フェルマー予想とは?(フェルマー・ワイルズの定理) 下記の予想のこ…

理工系の院試の,問題と解答のまとめ (数学・物理・情報・工学)

理工系の大学院で,院試の問題と解答のまとめ。とくに解答・解説つきの,学習に役立つものを選んだ。 科目は,数学・物理・情報・工学に分類。例えば物理系でも院試には数学が含まれているため,勉強の参考になる。 (1) 主に数学系 (2) 主に物理系 (…

群論で,「有限群論・群の表現論」の講義ノートPDF

講義ノートの目次へ 代数学の群論で,有限群論・群の表現論の講義ノートPDF。群論の基礎はこちらのノートから。 有限群論の講義ノート 日本語で読めるPDF: 有限群の表現,対称群の表現の基礎 http://www.f.waseda.jp/homma_yasushi/... 204ページ,早稲…

「保型形式・保型関数論」の講義ノートPDF。フェルマー予想・ラマヌジャン予想のかなめ

講義ノートの目次へ 保型形式・保形関数論(Automorphic Form)の講義ノートPDF。独学に使える,日本語と英語の資料を集めた。 保型形式や保型表現は,現代数学における代数的数論の重要な道具。かの有名な「フェルマー予想(最終定理)」や「ラマヌジャン-…

数学の「ポアンカレ予想」を理解するための,動画・原論文・読み物・PDFのまとめ (ポアンカレからペレルマンまでの流れ)

数学の「ポアンカレ予想」を理解するための資料として,動画・原論文・日本語の読み物・PDFなどをまとめた。 数学者ポアンカレによる原著と,それを解決したペレルマン氏の論文,さらにペレルマン氏が100万ドルの賞金を辞退した件の小説など。 数学をかじ…

大学入試の数学で,有名な名問や難問のまとめ(解答つき)。難易度は「標準」から「史上最大」まで

大学入試の数学で,名問や難問のまとめ。解答・解説付き。 受験勉強だけでなく,高校で習った数学の復習や,パズル,頭の体操に役立つ(特に難問)。 難易度は,3(標準)から5(史上最大)まである。ぜひ楽しんで解いてみよう。 目次: (難易度3)★★★:…

「代数的トポロジー」(代数的位相幾何学)の講義ノートPDF。ホモトピー・ホモロジーを使った幾何の入門

講義ノートの目次へ 代数的トポロジー(代数位相幾何,algebraic topology)の講義ノートPDF。独学に役立つ資料を集めた。 位相幾何学(トポロジー)は,「柔らかい幾何学」という通称を持つ。その中でも代数的トポロジーは, とくに図形が持つ代数的な構造…

数学検定の1級(大学の教養レベル程度)に合格するためのリンク集

数学検定の1級に合格するための情報。 数学検定1級は,理工系の大学1〜2年生なら合格できる程度のレベルだ。こういう資格試験は,学習の到達目標として参考にしやすい。 なお,「数学検定」には2種類あるので,混同しないように注意すること。 (1)「…

大学の「数論」(初等整数論と,代数的数論)の講義ノートPDF。独学用のオンライン参考書

講義ノートの目次へ 大学の数学で勉強する,数論(Number Theory)の入門に役立つPDF。 (1)整数を扱う初等整数論と, (2)群・環・体を使った代数的数論(Algebraic number Theory) の2つに分類。 前者は,いわゆる「整数問題」というやつの体系と思…

大学の数学で,「微分幾何学」の基礎の講義ノートPDF。曲線・曲面の幾何で,多様体論に橋渡しする

講義ノートの目次へ 曲線や曲面の微分幾何学の講義ノート。 幾何(微分幾何)の初歩として,まずユークリッド幾何からはじめ,後になって多様体・微分形式・リーマン幾何を学べるよう準備する。 この入門段階の学習目安としては,「ガウス・ボンネの定理」(…

「集合と位相」の講義ノートPDF。位相空間論に入門するためのオンライン教科書

講義ノートの目次へ 集合と位相空間に入門するための講義ノートPDF。 大学で学ぶ「幾何学」の基礎としての,集合論および位相空間の初歩。 数とは,集合である。そして集合の各要素に対し「近さ」(距離) の概念を導入すれば,位相空間になる。何かの集合や空…

数論幾何(Arithmetic Geometry)を学ぶためのPDF資料。代数幾何による数論

講義ノートの目次へ 数論幾何学を学ぶためのPDF。入門のための解説記事や,オンラインで入手できる教科書。 数論幾何を独学するための資料 数論幾何の教科書PDF: Arithmetic Geometry http://www2.maths.ox.ac.uk/cmi/librar... 570ページもあるPDF。ク…

「情報幾何」に入門するための資料PDF。解説論文と機械学習への応用の紹介

講義ノートの目次へ 日本から発信された数理的手法である情報幾何を学ぶための資料。機械学習などに応用されている。無料で閲覧・学習できるマテリアルを集めた。 「情報幾何」を学ぶための資料 情報幾何の基礎となる考え方: 情報幾何学 甘利俊一 http://ci…

大学の物理で,振動・波動論とフーリエ解析学の講義ノートPDF。

講義ノートの目次へ 大学の物理学の振動・波動論および物理数学のフーリエ解析学の講義ノートPDF。独学に役立つオンライン教科書を集めた。 この分野は,応用や発展がたくさんある。量子力学では全てが波だし,信号処理や建築・土木,他にも… 波動方程式の解…

「関数解析学」の講義ノートPDF (Functional Analysis) 入門用の教科書

講義ノートの目次へ 関数解析学の講義ノートPDF。入門用の教科書として使える資料。 関数解析は,物理や工学,ファイナンスといった応用数学の分野でも必要になる。 (関数の)正規直交基底。フーリエ級数など (量子力学で使うような)作用素 (デルタ関数…

物理数学で,「ベクトル解析」の教科書PDF(演習問題と解答つき) 入門用の講義ノート

講義ノートの目次へ ベクトル解析の講義ノートPDF。演習問題と解答つき。独学に使える資料を集めた。 大学の物理では,ベクトル場を数学的に表現する。電磁気学や流体力学では,基本的な定理を言い表すだけでも,ベクトル解析を避けて通れない。 (※電磁気学…

大学で学ぶ「統計学」の,入門用の講義ノートPDF。データ分析や確率統計の基礎

講義ノートの目次へ 統計学の基礎を学ぶための講義ノートPDF。 大学の入門レベルの統計学(データ分析や確率論の基礎)を,独学でマスターできるオンライン教科書や講義資料。 データがあふれる時代なので,データの扱い方を身につけよう。たくさんのデータ…

偏微分方程式の講義ノートPDF。解き方や分類の基礎を学ぶ入門用の参考書

講義ノートの目次へ 偏微分方程式(Partial Differential Equations,PDE)の講義ノートPDF。熱拡散や波動方程式,電磁場のポアソン方程式,流体への応用,フーリエ解析による解法などなど。独学に使える資料を集めた。 世の中は偏微分方程式だらけ。 時間と…

微分方程式の講義ノートPDF。例題と解答付き (常微分方程式の初歩的な解き方を勉強)

講義ノートの目次へ 微分方程式の基礎を学ぶための講義ノートPDF。 独学に使えるオンライン教科書を集めた。院試対策の演習問題と解答もある。 微分方程式は,大学1年で必ず押さえておこう。そうしないとあちこちで(ほとんど全分野で!)つまづいてしまう…

複素解析・複素関数論の講義ノートPDF。演習問題と解答つきのオンライン教科書

講義ノートの目次へ 複素関数論の,独学用の講義ノート・PDF。院試対策の問題と解答つき。 複素函数論を学ぶ際のスタンスは, 複素解析を「使う側」(工学)と 複素解析を「証明する側」(純粋な数学) の2手に分かれる。※それぞれ「関数」と「函数」のよう…

現代数学の最重要な関数,「リーマン・ゼータ関数」の教科書PDF。素数定理・リーマン予想を勉強するノート

講義ノートの目次へ ゼータ関数について勉強するための,入門用の資料。ゼータ関数を題材にした,リーマン予想(=未解決問題)や素数定理の話を含む。 ゼータ関数は,現代数学において最も重要な関数であり,解析的整数論の要だ。またゼータの特殊値を具体…

「グラフ理論」と「組み合わせ最適化アルゴリズム」の教科書PDF。離散数学の入門用の教科書

講義ノートの目次へ グラフ理論・組み合わせ最適化の講義ノート。ネットワーク(経路系)のアルゴリズムも含む。 大学の情報科学では,「離散数学」という分野だ。以下に,「グラフ理論」と「組み合わせ最適化」の入門段階の要点を並べてみる。 最大フロー問…

「微分形式」の入門用講義ノートPDF。物理に役立つ微分幾何学のツール

講義ノートの目次へ 微分形式と,それを使った幾何学の講義ノート。 微分形式を使うと,物理学の法則を美しくシンプルに記述できる。例えば,マクスウェル方程式を微分形式で書くと・・・ これだけで済む。 また,ベクトル解析の「ストークスの定理」を微分…

多様体上の「積分幾何学」の,入門用講義ノートPDF。幾何学的な確率論への応用を学習

講義ノートの目次へ 「積分幾何学」の講義ノート。 微分幾何学と異なり,積分幾何学は範囲が狭い。導入として,積分幾何学を使えば古典的な図形クイズを計算できるので便利だ。例えば有名な「ビュフォンの針」や「ベルトランのパラドックス」などの問題に,…

大学の「情報理論」(暗号理論を含む) の講義ノートPDF。代数学を使った情報量・符号化・通信路の理論

講義ノートの目次へ 情報科学の一分野である「情報理論」(Information Theory)の講義ノート。勉強しやすいものを集めた。 情報理論のテキストには,暗号に重点をおいた物と,符号理論(Coding Theory)から始める物の2タイプが存在する。さらに言えば,符…

ゲーム理論の講義ノートPDF。応用を含めた講義資料 (戦略と意思決定の方法論)

講義ノートの目次へ ゲーム理論の講義ノート。有名な「囚人のジレンマ」から始まり,かけひきの絡む複雑な状況下で,ベストな意思決定をするための理論。 応用分野がたくさんあり,「戦略」や「判断」が関係するものは全てゲーム理論を活用。例えば,ライバ…

金融工学・数理ファイナンス理論の講義ノートPDF (デリバティブや証券・オプション,ポートフォリオの経済学入門)

講義ノートの目次へ 大学・大学院で学ぶ「金融工学(ファイナンス工学)」の講義ノート。 デリバティブ理論 数理ファイナンス 計算ファイナンス 計量経済学 などの名前の授業。 数理工学の応用として学習する。株取引・証券や金融商品の,数理的なモデル化で…

「ルベーグ積分」の講義ノートPDF。測度論と確率論の入門(演習問題と解答付き)

講義ノートの目次へ 大学の数学で,ルベーグ積分を学習するための講義資料やPDF。 演習問題と解答付き(院試の問題を含む)。良質なテキストを収集した。高い参考書や問題集を買わなくて済む。 量を定義しにくい複雑な集合を扱う場合,その集合の大きさを積…

大学の数学で,微積分(解析学)の講義ノートPDF。演習問題と解答付き(大学1年で学ぶ,1変数と多変数の微分積分学のオンライン教科書)

講義ノートの目次へ 大学の初年度で学ぶ,微分・積分(=解析学)の講義ノートPDF。良質な講義資料を集めた。演習問題と解答もある。おかげで,高い参考書を買わなくて済む。 夏学期には「一変数の微積分」を扱い, 冬学期に「多変数の偏微分・重積分」を扱…

線形代数(行列論と抽象線形代数学)の講義ノートPDF。演習問題と解答付き

講義ノートの目次へ 大学で学ぶ数学の,1年次分の線形代数を,独学でも入門・学習できるようPDF教科書を収集。 行列論の入門から始め, 逆行列 固有値 対角化・2次形式 などを扱い,線形空間の議論に進んでゆく。 そして線形空間の議論では「抽象線型代数」…

「群論入門」や代数学の講義ノートPDFまとめ。群・環・体の基礎から物理への応用までのオンライン教科書

講義ノートの目次へ 入門レベルの群論から始め,群・環・体に関する大学の代数学の理論を独学でも学習できるよう,PDF教科書を収集。 Web上で無料で閲覧できるリソースを集めた。下記の3つに分けてリンクを記載。 (1)「群論」に的を絞ったテキスト。群論…

Google入社試験で,「無限格子の電気抵抗」を求める問題の解答と解説

「数学が得意」とか「物理が得意」「回路ならまかせろ!」と自負する人には,次のシンプルな問題を解かせてみよう。 問題:(Google入社試験より) 二次元平面上に無限に続く、1オームの抵抗で作られた正方形の格子において、ナイトの動き(桂馬飛び)の位置…

「ラムダ計算」を独学で学習するための,講義ノートやPDFのリンク集 (復習用の問題付き)

講義ノートの目次へ ラムダ計算は,コンピュータ・サイエンスの重要な1分野。 「λ」を使って各種の関数を記述し,λどうしの計算方法を習得すれば・・・ HaskellやF#などの関数型言語を習得するために役立つ。 プログラミングにおいて,関数についての理解を…

電磁気学講義ノート:マクスウェル方程式のためのベクトル解析 (2)ナブラを使って grad・div・rot の計算を簡素化

Maxwell方程式に基づく電磁場の計算のために,前回は下記の事項を学んだ。 和を縮約則で省いて,内積・外積の計算を簡素化しようhttp://language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20091115/p1 続いて今回は, 微分の表示をナブラで省いて,場の計算を簡…

電磁気学講義ノート:マクスウェル方程式のためのベクトル解析 (1)内積・外積の計算を簡素化

Maxwell方程式に基づく電磁場の計算を,楽に,スムーズに,手早く実行したい。そのために,計算上のテクニックとして以下の点を学ぶ。 (1)演算子の表示を省く: 和を縮約則で省いて,内積・外積の計算を簡素化しよう 微分の表示をナブラで省いて,場の計…

 「相関係数とは何か?」 を体系的に理解するための6ステップ

実は,下の6つは,同じものである。 かけ算 内積 なす角の余弦 共分散 相関係数 相関関数 これらは6つとも類似度を算出するためのツールだ。 (↑まとめ画像) これらを1つずつ解説・検証する。 (1)かけ算: 符号を見れば,数と数(スカラーとスカラー…

2変数関数の相関係数の計算方法と,3次元グラフ描画 (gnuplotで視点をぐりぐり動かす)

2変数関数(=グラフは3次元になる)を2つ用意し, まず相関係数を求めてみる。 次に,3次元グラフを描画する。 問題 である時,X,Yの相関係数を求めなさい。http://q.hatena.ne.jp/1229990989 解答

 0 = 1 の証明

0=1の証明。 従って、 である。 このとき,以下が成り立つ。