多様体上の「積分幾何学」の，入門用講義ノートPDF。幾何学的な確率論への応用を学習

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「積分幾何学」の講義ノート。

微分幾何学と異なり，積分幾何学は範囲が狭い。

導入として，積分幾何学を使えば古典的な図形クイズを計算できるので便利だ。

例えば有名な「ビュフォンの針」や「ベルトランのパラドックス」などの問題に，確率的な測度の観点から厳密な解を与えることができる。

また発展としては，確率幾何学・ステレオロジーなどの応用がある。

※さきにこちらの講義ノートで，ルベーグ積分と測度論の基礎を身につけておくとよい。

積分幾何学を学ぶための資料

日本語のかんたんな解説ページ：

幾何学的確率に関する教材について
http://izumi-math.jp/W_Takakura/k_kak...

8ページ。中高生向け。

Keywords：幾何学的確率、測度、モンテカルロ法、Buffonの針、De Moivre-Laplaceの定理

引用：「幾何学的確率については、一般に次のように定式化することができる。例えば、平面上にある可測な領域Gがあり、その中に他の領域gが含まれているとする。領域Gの中へ１つの点が無作為に投げ込まれるとき、その点が領域gの中へ落ちる確率はいくらかという問題が考えられる。ここで、「１つの点が領域Gの中へ無作為に投げ込まれる」という意味は、投げ込まれる点は領域G内の任意の点へ落ちることができ、それがG内のある部分の中へ落ちる確率はその部分の測度のみに比例し、その部分の位置や形状には依存しないということである。」

積分幾何学
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/...

内容：ベルトランのパラドックス，ビュフォンの針，クロフトンの公式。

紹介文：ランダムに配置された図形の幾何学は「積分幾何学」と呼ばれている．　測度の計算には積分がでてくるからであるが，種々の図形について変位で不変な測度を求め，確率測度に基づいてつくられた幾何学要素の確率論という意味で「確率幾何学」とも呼ばれている．…微分幾何学に較べれば積分幾何学の分野は狭いものであって，むしろ広い意味での微分幾何学の一分科，一部門とみなしてもよいものである．

積分幾何学とは - コトバンク
http://kotobank.jp/word/%E7%A9%8D%E5%...

幾何学的確率の問題として知られた問題がある。例えば(ユークリッド)平面におかれた二つの円周S1,S2に対して，その一方S1に交わる直線がもう一方S2にも交わる確率を求めよというものなどがそれである。このような問題に対して基本的であるのは，平面における直線の種々の集合の大きさをうまく測ることである。

積分幾何学 - ORWiki
http://www.orsj.or.jp/~wiki/wiki/inde...

"ビュッフォンの針"のように図形に関係した確率を幾何確率といい, これらの理論的な部分は, 積分幾何学を基礎にしている.

積分幾何学の基礎概念とは合同変換によって不変な測度(積分)を求めることにあり, 対象が点, 直線, 一般的な図形等でそれらの集合の不変な測度がそれぞれ得られる.

その測度(積分)に関係して, 直線についてはクロフトン (Crofton) による, 一般的な図形についてはブラシュケ (Blaschke) による, きれいな主公式が存在する.

積分幾何学は幾何確率に応用可能であるばかりでなく, もっと広く図形に関する様々な局面で基礎となり得る

積分幾何学をがっつり学ぶためのテキスト・スライド：

集中講義，積分幾何学
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki...

千葉大，70ページ。

内容：外積代数と多様体上の積分，面における交叉積分公式

紹介文：ユークリッド空間内の曲線の長さ、曲面の曲面積、立体図形の体積等の積分で定義される幾何学的量の性質や、それらの量の間の関係について解説し、積分幾何学の入門を目的とする。

積分幾何学・集中講義
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki...

首都大学東京，79ページ。一つ前と同一の作者によるもので，テンソル代数から始めているあたりが共通。

1 多様体上の積分

2 Lie群と等質空間

3 等質空間の積分幾何学

紹介文：多様体上の積分に関する準備の後、Riemann等質空間におけるPoincareの公式のHowardによる定式化を解説する。実空間形と複素空間形の場合にPoincareの公式をさらに詳しく記述する。

Integral geometry - measure theoretic approach and stochastic applications「積分幾何学・測度論的なアプローチと確率論への応用」
http://home.mathematik.uni-freiburg.d...

68ページ，ドイツのフライブルク大。

1 Introduction 3

2 Elementary mean value formulae 4

3 Invariant measures of Euclidean geometry 10

4 Additive functionals 24

5 Local parallel sets and curvature measures 29

6 Hadwiger’s characterization theorem 39

7 Kinematic and Crofton formulae 42

8 Extension to random sets 48

9 The kinematic formula for curvature measures 58

INTEGRAL GEOMETRY OF TENSOR FIELDS（積分幾何学とテンソル場）
http://www.math.nsc.ru/~sharafutdinov...

259ページ。ロシア科学アカデミーのソボレフ研究所による。

1 Introduction 13

2 The ray transform on Euclidean space 21

3 Some questions of tensor analysis 81

4 The ray transform on a Riemannian manifold 111

5 The transverse ray transform 139

6 The truncated transverse ray transform 173

7 The mixed ray transform 199

8 The exponential ray transform 219

引用：What is integral geometry? Since the famous paper by I. Radon in 1917, it has been agreed that integral geometry problems consist in determining some function or a more general quantity (cohomology class, tensor Oeld, etc.), which is deOned on a manifold, given its integrals over submanifolds of a prescribed class. In this book we only consider integral geometry problems for which the above-mentioned submanifolds are one-dimensional.

幾何学的確率論をがっつり学ぶテキスト：

Integral Geometry & Geometric Probability - IntGeomSlides.pdf
http://www.math.utah.edu/~treiberg/In...

64ページ，ユタ大の講義資料スライド。

1 Buffon’s needle problem, Firery’s dice problem

2 Kinematic measure.

3 Poincare’s Formula for average number of intersections of curves.

4 Cauchy’s Formula for the average projected length.

5 Crofton’s Formula for the average chord length.

6 Santal o’s & Blaschke’s Formuls for the averages over the of the intesection of two domains.

7 Application to the Isoperimetric Inequality.

Introduction to Geometric Probability
http://qh.eng.ua.edu/e_paper/e_book/G...

191ページ，アラバマ大の講義資料。

1 The Buffon needle problem 1

2 Valuation and integral 6

3 A discrete lattice 13

4 The intrinsic volumes for parallelotopes 30

5 The lattice of polyconvex sets 42

6 Invariant measures on Grassmannians 60

7 The intrinsic volumes for polyconvex sets 86

8 A characterization theorem for volume 98

9 Hadwiger's characterization theorem 118

10 Kinematic formulas for polyconvex sets 146

11 Polyconvex sets in the sphere