「微分形式」の入門用講義ノートPDF。物理に役立つ微分幾何学のツール

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微分形式と，それを使った幾何学の講義ノート。

微分形式を使うと，物理学の法則を美しくシンプルに記述できる。

例えば，マクスウェル方程式を微分形式で書くと・・・

　　 $dF=0,\quad d*F=J$

これだけで済む。　また，ベクトル解析の「ストークスの定理」を微分形式で書くと・・・

　　 $\int_{M}d\omega=\oint_{\partial M}\omega$

となる。

解析力学や電磁気・相対論を先に進めてゆくと，必ず微分形式が必要になる。

また微分形式は，「多様体」や本格的な「微分幾何学」への足掛かりとして学ぶ。

以下の講義ノートを使って，微分形式を独学で勉強できる。

※前提となるベクトル解析の講義ノートはこちら。

微分形式を使った幾何学の講義ノート

ページ数の多い教科書：

微分形式入門
http://www7.ocn.ne.jp/~kawa1/difform.pdf

100ページ。電磁気・相対論・解析力学など，物理学への応用が豊富なので助かる。

１　微分形式

２　Maxwell方程式

３　特殊相対論

４　座標変換と写像

５　正準変換

６　一般化されたStokesの定理

引用：Maxwellの方程式や特殊相対論の基本的な式，また，解析力学における正準変換などは，微分形式または外微分形式と呼ばれる数学的形式で記述すれば，系統的にしかも自然に得られる．

2003年度筑波大学　大学院講義　微分幾何学
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki...

115ページ，筑波大。

第1章線形代数からの準備

1.1 テンソル代数、1.2 外積代数、1.3 外積代数と交代形式、 1.4 外積代数における内積

第2章テンソル場と微分形式

2.1 ベクトル束、2.2 テンソル場、2.3 微分形式、 2.4 微分形式の外微分

第3章 Riemann多様体

3.1 曲面の微分幾何学、3.2 ベクトル束と線形接続、3.3 Riemann計量、 3.4 テンソル場の共変微分、3.5 曲率テンソル、3.6 種々の曲率

第4章 Riemann部分多様体

4.1 第二基本形式と法接続、4.2 基本的な方程式、4.3 高橋の定理、 4.4 Simonsの不等式

紹介：リーマン多様体とその部分多様体に関する講義。多様体の微分幾何学で必要になるテンソル代数と外積代数の準備の後、リーマン多様体とその部分多様体の計量、曲率、第二基本形式等の基本的概念を解説。

幾何学III
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kohno/le...

東大の講義資料。

紹介：多様体上の微分形式の理論とその応用をテーマとして講義する．まず，可微分多様体の接バンドル，および余接バンドルの概念を用いて，多様体上のベクトル場と微分形式を定義する．さらに，微分形式の引き戻し，外微分，積分などをの概念を説明し，境界付き多様体におけるストークスの定理を証明する．また，多様体のド・ラム理論について，その概要を説明する．微分形式の応用として，写像度，リーマン計量と体積要素などの話題を解説する．

２００６年度幾何学３　講義予定、演習問題
http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/~tsubo...

東大・理学部数学科の「幾何学３」の講義資料。復習用の演習問題付き

内容：微分積分学の基本定理，微分形式と外微分，ポアンカレの補題，ドラームコホモロジー，線積分，ストークスの定理，ポアンカレ双対定理。

引用：幾何学の講義の目標の１つは、微積分学の基本定理を多様体上で定式化し証明することである。・・・微積分学の基本定理を多変数で考えることは、力学、電磁気学、流体力学などと関連してベクトル解析として発展した。

1 http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/~tsuboi/ki3-2006/kougi_note1.pdf

2 http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/~tsuboi/ki3-2006/kougi_note2.pdf

3 http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/~tsuboi/ki3-2006/kougi_note3.pdf

4 http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/~tsuboi/ki3-2006/kougi_note4.pdf

5 http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/~tsuboi/ki3-2006/kougi_note5.pdf

6 http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/~tsuboi/ki3-2006/kougi_note6.pdf

ページ数が少なく，短くまとまった資料：

統合幾何学A・大域微分幾何学講義ノート
http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~hisi...

熊本大，17ページ。要点がまとまっている。

第1節多様体

第2節接空間

第3節ベクトル場と微分

第4節外微分形式

第5節微分形式の積分

第6節リーマン多様体

第7節曲率と位相

解析力学ノート（数学、物理、多様体、微分幾何学）
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/de...

序盤の第１節では、数学的準備として、ベクトル場と微分形式について簡単にまとめています。

微分形式を動画で勉強：

微分形式をYoutube動画で勉強
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140520/p3

微分形式と外積代数の応用：

有限要素法による外積代数（愛媛大）
http://daisy.math.sci.ehime-u.ac.jp/u...

内容：

1. ベクトル空間のテンソル積とテンソル空間

2. 交代テンソル積と外積代数

3. 曲面、微分多様体とその上の微分形式

紹介文：有限要素法で行う領域の三角形分割を、ある(境界つき)多様体の単体分割とみなし、有限要素法を幾何学的な観点から見直す。