数学の「ABC予想」の証明の原論文PDFと，わかりやすい解説資料。「宇宙際タイヒミュラー理論」

ABC予想とは，数論のディオファントス解析の最重要問題。

互いに素な自然数 a, b, c が a + b = c, a ＜ b を満たすとする。
また，積 abc の互いに異なる素因数全体の積を Rとおく。
任意の正数 e に対し， c ＞ R^{1 + e} となる a, b, c の組は有限個しか存在しない。

このABC予想は，1985年に提起された。

そして2012年には望月新一教授が，
これを証明したとする５００ページほどの論文を発表した。

その証明の論文で使われている理論の名前は，

「宇宙際タイヒミュラー理論（Inter-universal Teichmueller Theory）」
というすごい名前。

以下では，ABC予想の証明の原論文に加え，
ABC予想を理解するための初歩的なわかりやすい資料を掲載する。

※「強いABC予想」に関係のある「フェルマー予想」については，「フェルマー予想」と「谷山・志村予想」のノートを参照。

※数論の基礎知識は，数論の講義ノートや数論幾何の講義ノートを参照。

（１）ABC予想の解決に関連した，望月先生の「宇宙際タイヒミュラー理論」の原論文

望月新一教授による，ABC予想に関連した原論文のPDF（合計で500ページ超）：

INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY I: CONSTRUCTION OF HODGE THEATERS
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~moti...

Shinichi Mochizuki July 2014

167ページ。

the goal of which is to establish an arithmetic version of Teichmuller theory for number fields equipped with an elliptic curve ― which we refer to as “inter-universal Teichmuller theory” ― by applying the theory of semi-graphs of anabelioids, Frobenioids, the etale theta function, and log-shells developed in earlier papers by the author.

INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY II: HODGE-ARAKELOV-THEORETIC EVALUATION
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~moti...

Shinichi Mochizuki July 2014

173ページ。

we study the Kummer theory surrounding the Hodge-Arakelov-theoretic evaluation ― i.e., evaluation in the style of the scheme-theoretic Hodge-Arakelov theory established by the author in previous papers ― of the [reciprocal of the l-th root of the] theta function at l-torsion points, for l ≥ 5 a prime number.

INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY III: CANONICAL SPLITTINGS OF THE LOG-THETA-LATTICE
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~moti...

Shinichi Mochizuki July 2014

142ページ。

regarded as the culmination of the abstract conceptual portion of the theory developed in the series. In the present paper, we study the theory surrounding the log-theta-lattice, a highly non-commutative two-dimensional diagram of “miniature models of conventional scheme theory”, called Θ^{±ell} NF-Hodge theaters.

INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~moti...

Shinichi Mochizuki July 2014

72ページ。

In the present paper, estimates arising from these multiradial algorithms for splitting monoids of LGP-monoids are applied to verify various diophantine results which imply, for instance, the so-called Vojta Conjecture for hyperbolic curves, the ABC Conjecture, and the Szpiro Conjecture for elliptic curves. Finally, we examine ― albeit from an extremely naive/non-expert point of view! ― the foundational/set-theoretic issues surrounding the vertical and horizontal arrows of the log-theta-lattice by introducing and studying the basic properties of the notion of a “species”, which may be thought of as a sort of formalization, via set-theoretic formulas, of the intuitive notion of a “type of mathematical object”.

この４つを要約したPDF：

A Panoramic Overview of Inter-universal Teichmuller Theory
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~moti...

By Shinichi Mochizuki

Papers of Shinichi Mochizuki
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~moti...

Inter-universal Teichmuller Theory

望月先生のほかの論文も読める。

（２）ABC予想の解決を理解するためのわかりやすい資料

日本語でわかりやすく解説したPDF：

数学集中講義　ABC予想が証明された？
http://tsuwamono.kenshinkan.net/way/p...

４ページ。「大学への数学」より抜粋。関係のある最近の大学入試問題も取り上げている。

ABC予想について
http://yato.main.jp/koneta/ABC_conjec...

１８ページのコラム。

ABC予想についての解説ノート。理数系から遠く離れた人たちに向けて書いたもの

整数論の範疇だけで解けるような問題は、既にほとんど解けてしまっている。残った難問を解くためには他の分野の力を借りないといけない。フェルマー予想の解決にも幾何学が使われています

もし（強い）ABC予想が正しければ、あのフェルマー予想の別証明が与えられたことになる。フェルマー予想の反例となるx, y, zが仮に存在するなら、nの可能性は5以下である。n = 3, 4, 5のときはフェルマー、オイラーなどによって証明されています。よって、すべての場合にフェルマー予想が正しいことが判りました。

Webページとして読める資料：

ABC予想のすごさがなんとなく分かるように説明してみるよ。フェルマー最終定理との関係で。: 未来の普通
http://normahead.seesaa.net/article/2...

数学者ではない理系がなるべく簡単な説明を試みる

さらにABC予想のすごさがなんとなくわかった気になるお話: 未来の普通
http://normahead.seesaa.net/article/3...

つまり、足し算の式が掛け算の式で調べられる、そのことがとてもありがたいのです。

ABC予想は c ＜ rad(abc)2 となっていて、「c を手当たり次第調べるときも rad(abc)2 まででいいからね〜」と言ってくれてる

ABC予想って何？ - 小人さんの妄想
http://d.hatena.ne.jp/rikunora/201209...

ある自然数を素因数分解して出てきた、全ての約数を並べてみる…。

動画で学ぶ：

What is the abc conjecture? - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=zk4U5...

2014/03/22 に公開, by UConn Math

コネティカット大の講義。