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「保型形式・保型関数論」の講義ノートPDF。フェルマー予想・ラマヌジャン予想のかなめ

数学 数論 代数学 講義ノート リンク集 解析的整数論


保型形式・保形関数論(Automorphic Form)の講義ノートPDF。

独学に使える,日本語と英語の資料を集めた。


保型形式や保型表現は,現代数学における代数的数論の重要な道具。

かの有名な「フェルマー予想(最終定理)」や「ラマヌジャン-ピーターソン予想」が提起・表現・解決されるための要だった。


保型形式は,近年の整数論や表現論を学ぶための重要なマイルストーンと言える。

(1)日本語の資料

日本語で読める「保型形式」のPDFノート:

GL_2 上の保型形式と表現論
http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~nari...

  • 16ページ,熊本大。
  • 「本稿では上半平面上の関数として定義される保型形式を,実Lie群SL(2,R)上の関数やアデール群GL(2,A)上の関数として持ち上げ,表現論の言葉でどのように理解されるかについて解説する.本稿を通して「保型形式とは表現のことである」との感覚を少しでも持っていただければ嬉しい」

 1 はじめに
 2 保型形式の復習
 3 SL2(R)の表現論と保型形式
 4 アデール上の保型形式


楕円曲線とモジュラー形式 Elliptic curves and modular form
http://www.imetrics.co.jp/academy/Ell...

  • 22ページ。モジュラー群の定義から,保型形式の古典理論,ラマヌジャン予想へ。
  • 引用:
    • 「双曲平面(hyperbolic plane)という日常生活から見ると少し変わった空間を解説する。そこに作用する基本群として、整数の代わりに、整数を成分をする行列を考える。これをモジュラー群(modular group)という。」
    • 保型形式とは、モジュラー群の基本領域上の関数であり、かつ、モジュラー群の作用で他の基本領域に移して考えたときの関数値がある規則にしたがっている関数のことである。」
    • 「保型形式の例として、まず挙げられるのが、アイゼンシュタイン級数である。アイゼンシュタイン級数は、保型形式すなわち上半平面上の関数でありながら、同時に、複素平面内の「格子(lattice)の関数」とみなすこともできる。この第二の見方は重要であり、モジュライ空間の理解に欠かせない。そこでこの冊子ではアイゼンシュタイン級数を、格子の関数として導入していく。」
    • 「楕円曲線とは、楕円(ellipse)という曲線ではない。楕円関数とは、二重周期関数、すなわち複素平面上の関数で格子Ωに関して周期的であるような関数のことである。」


保型表現とGalois表現 - 初学者のために -
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~ty245/Yo...

  • 21ページ。ケンブリッジ大の吉田輝義先生によるノート。
  • 「1970年代から,代数的整数論は,表現論の言葉で書かれるようになった.現在の代数的整数論のもっとも中心的な問題の一つである非可換類体論(Langlands対応)は,保型表現とGalois表現の間の対応として定式化されている.」

 1 表現論の諸相(1)
 2 Q上のl進指標の類体論(GL_1 / QのLanglands対応)
 3 表現論の諸相(2)
 4 Langlands対応入門


保型形式入門
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~taku...

  • 九州大学,123ページ。
  • 「コンパクトRiemann面Γ \ h* 上の有理型函数をΓに対する保型函数(modular function)という。」

 第1章 楕円保型形式
 第2章 アデール群への移行
 第3章 非アルキメデス局所理論
 第4章 アルキメデス局所理論
 第5章 大域理論



九州大の資料:

(2)英語の資料

英語の講義ノート:

AN INTRODUCTION TO AUTOMORPHIC REPRESENTATIONS
http://www.math.duke.edu/~jgetz/aut_r...

  • 89ページ,デューク大。保型表現の入門。

 1. Background on adele rings
 2. Algebraic Groups
 3. Automorphic representations
 4. Nonarchimedian Hecke algebras
 5. A bit of archimedian representation theory
 6. Automorphic forms
 7. Factorization
 8. Gelfand pairs
 9. Unramified representations
 10. Statement of the Langlands conjectures and functoriality
 11. The philosophy of cusp forms
 12. Simple trace formulae and relative trace formulae
 13. Applications of the simple relative trace formula and related issues in distinction
 14. More on distinction
 15. The cohomology of locally symmetric spaces


Introduction to automorphic representations and other lecture notes
http://math.newark.rutgers.edu/~sakel...

  • 保型表現の入門の講義。米国のラトガース大の講義資料。

 Lecture 1: Basic properties of algebraic groups.
 Lecture 2: Structure and forms over a non-algebraically closed field.
 Lecture 2 1/2: Brauer groups, Galois cohomology.
 Lecture 3: Recollection of class field theory.
 Lecture 4: The automorphic quotient.
 Lecture 5: Basic representation theory of real and p-adic groups
 Lecture 6: Automorphic forms and representations.
 Lecture 7: The Satake isomorphism and automorphic L-functions.
 Lecture 8: The Langlands conjectures and arithmetic.
 Lecture 9: Harmonic analysis on homogeneous spaces.
 Lecture 10: Parabolic induction and restriction, locally and globally.



ケンブリッジ大の講義ノート:

Automorphic Forms and Galois Representations I (Math 299r, Fall 2008)
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~ty245/20...

  • 「保型形式とガロア表現」に関する講義。

その講義ノート:


シンガポール国立大の講義資料:


保型形式の応用:

Automorphic Forms in String Theory
http://fy.chalmers.se/~tfebn/OscarsMS...

  • 126ページ。保型形式のひも理論への応用。

 1 Introduction
 2 Coset Symmetries of Actions
 3 Constructing an Action on a Coset Space
 4 Quantum Corrections, Instantons and Eisenstein Series
 5 The Type IIB Case : SL(2,Z)\SL(2,R)/SO(2)
 6 The Type II Case A : SU(2,1;Z[i]) \ SU(2,1)/(SU(2)×U(1))



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