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「代数的トポロジー」(代数的位相幾何学)の講義ノートPDF。ホモトピー・ホモロジーを使った幾何の入門

数学 幾何学 講義ノート リンク集 代数学


代数的トポロジー(代数位相幾何,algebraic topology)の講義ノートPDF。

独学に役立つ資料を集めた。


位相幾何学(トポロジー)は,「柔らかい幾何学」という通称を持つ。

その中でも代数的トポロジーは,
とくに図形が持つ代数的な構造(群など)に着目。


ポアンカレが19世紀に導入したホモロジー・ホモトピーなどの用語を使うのが特徴。

  • 図形(多様体)の上で「経路を少しずつずらしてゆく集合」を考えれば,ホモトピー群を構成できる。

基本的な用語の概念をつかむだけでも容易ではない。


この「代数的位相幾何学」,下記の講義ノートで入門できる。


※前提として,群・環・体など代数の基礎をこちらのノートで,多様体と曲線・曲面の基礎を微分幾何学の基礎のノートで身につけておこう。


※代数トポロジーの難解さ・に挫折したら,具体的なイメージのわきやすい結び目理論に寄り道してみるとよい。

代数トポロジーの講義ノート

わかりやすい資料(入門に最適):

ホモロジー群とその応用
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hira...

  • 九州大のスライド,51ページ。わかりやすい。
  • トポロジー,ホモロジー群,工学への応用。


トポロジーは応用できるか?
http://mathsoc.jp/outreach/2011aki/ta...

  • 104ページのスライド。トポロジーの定義から,ホモトピー同値,ホモロジー,およびトポロジーの物理への応用。
  • 引用:「ホモロジーは, 単体的複体や多様体のような幾何学的対象に対しアーベル群を対応させる「関数」のようなもの。ホモロジーは, 二つの圏の間の関手というものになっている。」


しっかり学べるPDF(教科書として使える):

解説と演習『幾何学入門』 { より深い理解のために
http://osami.s280.xrea.com/geometry/d...

  • 南山大学,198ページ。とても平易。正確な証明は省いているが,ホモトピーの定義やホモロジー群の導入をわかりやすく学べる。
  • 「ここでは位相幾何学を取り扱っています.特に,ホモロジーを用いた幾何学に多くの時間を割いていいます.このような分野の幾何学を採り上げたのは,この分野の幾何学は予備知識がほとんどなくても理解できるからです.」

 第1回 集合とそこから広がる世界
 第2回 オイラーの定理
 第3回 距離空間と開集合
 第4回 滑らかに変化するとはどういうことか?
 第5回 展開図で考える 閉曲面の世界
 第6回 群というアイデアで遊ぶ
 第7回 じわじわと動かす ホモトピー
 第8回 基本群の話
 第9回 色々な図形の基本群
 第10回 単体と複体のはなし
 第11回 鎖とその境界
 第12回 ホモロジーの世界
 第13回 色々な図形のホモロジー


幾何学I / 幾何学概論V  2009年
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~larsh...

  • 名古屋大の講義資料。
  • 微分形式とド・ラームコホモロジーの勉強を通して、代数トポロジーを紹介。

 1 イントロ
 2・3 交代代数
 4 微分形式
 5 ド・ラーム・コホモロジー
 6 ポアンカレの補題
 7 コチェイン複体とそのコホモロジー
 8 「1の分解」
 9 マイヤー・ビートリス系列
 10・11 ホモトピー不変性
 12 ブラウワーの定理
 13 ジョルダン・ブラウワーの定理


2013年度 「幾何学入門」 ホームページ
http://osami.s280.xrea.com/geometry/

  • 名城大の講義資料。

 12 じわじわと動かす - ホモトピーの考え方
 13 基本群の定義
 14 色々な図形の基本群の計算
 15 全体のまとめ


動画で学ぶ:

代数的トポロジー(代数的位相幾何学)のオンライン授業を,Youtube動画で。ホモロジーの入門
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140705/p2


わりと高度:

近代ホモトピー論( 1940 年代から 1960 年代まで) 土屋昭博述 中井洋史記
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publicati...

  • 125ページ。東大の講義ノート。代数的位相幾何学。

 1 ホモトピー論の基礎概念
 2 ホモトピー群
 3 ホモロジー群とホモトピー群の相互関係(Serreの理論)
 4 障害理論とその応用
 5 有理ホモトピー論
 6 Steenrod代数とEilenberg-MacLane空間のコホモロジー
 7 安定ホモトピー圏
 8 複素コボルディズム理論とPontryagin-Thom構成
 9 複素コボルディズム理論とQuillenの理論


トポロジー
http://research.kek.jp/people/hkodama...

  • 102ページ。前提知識が多い。
  • 前提知識:加群,複体,圏論の関手,準同型写像などの代数的用語,

 1 ホモロジーとコホモロジー
 2 ホモトピー
 3 Manifolds(多様体)
 4 微分位相幾何学
 5 ファイバー束
 6 特性類
 7 Knots and Links


ホモロジーとコホモロジー
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ko...

  • 大阪大,2011年,13ページ。

 1 空間対
 2 単体複体
 3 Eilenberg-Steenrodの公理
 4 三つ組み完全系列
 5 Mayer-Vietoris完全系列
 6 鎖複体
 7 単体複体のホモロジー
 8 特異ホモロジー
 9 CW複体のホモロジー
 10 de Rhamコホモロジー
 11 双対定理
 12 コホモロジー環


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