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大学の数学で,「結び目理論」に入門するための教科書PDF。応用の多いトポロジー・位相幾何学の一分野

数学 幾何学 講義ノート


結び目理論(Knot Theory)を独学で学ぶための教科書PDFを集めた。


結び目理論は,空間内の図形の性質を調べる
位相幾何学の特殊な一分野とみなせる。


数学的には,多様体や基本群,不変量としての多項式など,
代数系の用語を道具として使う。


結び目に関するトポロジーは,統計力学や素粒子論など物理学でも必要になり,具体的な応用が確立している。


また,タンパク質やDNAのような“3次元の形状”が

  • どのように絡まっているか?
  • 互いに同一の形状と判定できるか?

などを調べたいときにも必要になる。


※本家の代数的トポロジーを本格的に学ぶためにはこちらのノートを参照。


結び目理論の教科書PDF

本格的な数学を使った,結び目理論の教科書PDF:

「結び目と曲面」 小沢 誠 平成 25 年 4 月 9 日
http://www.komazawa-u.ac.jp/~w3c/lect...

  • 118ページ,駒沢大。多様体の初歩の入門つき。
  • 抜粋:
    • 「結び目理論とは、結び目の同値類に関する学問であり、位置を対象とした数学であるので位相幾何学の一分野とされる。与えられた二つの結び目が同値であるかどうかを判定し、もし同値であるならばどのように変形すれば移り合うか記述することは、結び目理論の基本的問題である。」
    • 「本書では、結び目補空間内の曲面を扱う。空間は3次元で結び目は1次元であるので、その間の2次元である曲面は結び目に関する情報を多く含んでいる。」
    • 「本書の構成は大きく3つに分かれる。第I部では、低次元多様体の基本的な定義と定理を述べる。ここでは、低次元多様体論で一般的に用いられている基礎的事項を扱う。特に、本書で重要な役割を果たす本質的曲面については、詳しく解説する。」
    • 「第II部では、結び目の基本的な定義と定理を述べる。ここでは、結び目理論で一般的に用いられている基礎的事項を扱う。特に、結び目外部の本質的曲面については、詳しく解説する。第III部では、結び目の位置と曲面について現在まで知られている結果をなるべく網羅的に述べる。」

第I部 多様体と部分多様体
 第1章 多様体
 第2章 部分多様体
第II部 結び目の位置と基本定理
 第3章 結び目の位置
 第4章 結び目の基本定理
第III部 結び目と曲面
 第5章 閉曲面
 第6章 タングル分解球面
 第7章 ザイフェルト曲面
 第8章 巻き付き曲面
第IV部 付録
 第9章 結び目と曲面の表
 第10章 結び目理論の未解決問題
 第11章 結び目の構成方法
 第12章 結び目の表


Topology
http://www.komazawa-u.ac.jp/~w3c/lect...

  • ↑の教科書のWebページ版。といっても手書きノートだが。


「結び目と素数 - 数論的位相幾何学入門」 森下昌紀 ( 仙台シンポジウム , 2011.8.25.)
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kfuji...

  • 京都大,9ページ。
  • 引用:「結び目と素数の類似に基づき, 結び目理論(3次元トポロジー)と数論の間には親密な類似性がみられる. この類似性に従い, トポロジーと数論の間に橋を架け, お互いに刺激しあって研究しようという領域を数論的位相幾何学と呼ぶ. この講義では, 数論的位相幾何学における基本的な類似を説明し, Gaussから分かれたこの 2 つの道を統一的に眺め直したいと思う. Gauss の結び目理論は古典電磁気学の中から生まれたが, 結び目理論と数論の関係も現代の場の理論と繋がって行くように思われる。」

 1. Gauss
 2.辞書
 3. Gaussのまつわり数と平方剰余再論
 4.高次まつわり数と多重べき剰余
 5.類体論と電磁双対性


くみひもの数理
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenk...

  • 18ページ,京都大。ヤン・バクスター方程式とのかかわりなど。
  • 引用:「代数系の例として,くみひもの群を取り上げ,結び目や統計力学の理論との関連について解説します。」


結び目の「彩色」(ほどけるかどうか)についてのPDF:

「合同式で考える結び目の不変量」
http://www.gem.aoyama.ac.jp/~kyo/sots...

  • 青山学院大の卒論。
  • 抜粋:
    • 「 本研究では、結び目に対し彩色数という結び目の不変量を考え、結び目のほどける、ほどけない、を考える。」
    • 「色(重み)の付け方に関して、交点条件を合同式の形で考える。」

 1 序論
 2 結び目
 3 結び目の彩色数
 4 ジョーンズ多項式と彩色数
 5 今後の課題


結び目不変量を用いた高校生向けの数学教材の提案とその実践
http://www1.gifu-u.ac.jp/~math/gifuma...

  • 14ページ,岐阜大。
  • 引用:「空間図形の高校生向けの教材として「結び目不変量」を取り上げる。結び目は空間図形としてとらえると,その投影図を場合の数や漸化式を用いて考察することにより,二 つの結び目の空間図形としての違いを調べることが出来る。本論文では,結び目不変量 を用いた数学教材の提案及び,岐阜県教育委員会学校支援課主催の高校数学セミナーに おける実践授業について述べる。」

 1.序文
 2.結び目と絡み目
 3.結び目の図式
 4.結び目のライデマイスター移動
 5.結び目の3彩色数
 6.向きのついた絡み目とコンウェイ多項式
 7.授業の概要
 8.実践結果
 9.これまでの実践例
 10.今後の課題


結び目理論
http://nadamath2012.web.fc2.com/bushi...

  • 14ページ,灘高の文化祭の資料。高校向けなので内容はわかりやすい。


結び目理論が具体的にどのような応用を持つかがよくわかる読み物もある。

一般向けの読みやすい紹介PDF:

結び目理論の科学への応用 −プリオン分子モデルとこころのモデルを中心として 河内明夫 ( 大阪市立大学大学院理学研究科 )
http://mathsoc.jp/publication/tushin/...

  • 20ページ。
  • 内容:まず結び目・絡み目・空間グラフの数学とサイエンスについて,具体例に基づいて説明を行う.それから,サイエンスへ応用する結び目の数学の例として,プリオン蛋白分子モデルの結び目理論と「こころ」のモデルの結び目理論―こころの有り様を図示する試み―について解説

 1.結び目・絡み目・空間グラフの数学とその科学的意味を考える
 2.プリオン蛋白分子モデルの結び目理論
 3.こころのモデルの結び目理論―こころの状態を図示する試み


結び目の数学 今井 淳 (首都大学東京)
http://mathsoc.jp/publication/tushin/...

  • 18ページ
  • 内容:結び目が数学にどのように入ってきたのか, 現在の興隆のきっかけはなにか,他分野との交流はどのようなものがあるか

 1 序
 2 結び目とその仲間たちと数学
 3 結び目不変量
 4 他分野との関連
 5 結びの言葉


未解決問題のリスト:

結び目理論の未解決問題10
http://matome.naver.jp/odai/213348955...

  • 1.同値問題: 与えられた二つの結び目が同値かどうかの判定。もし同値ならば、どのような変形で移り合うか。
  • 2.構造問題: 結び目全体からなる集合にある構造を与え、それを調べる。


英語での教科書PDF:

Knot Theory
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers...

  • 189ページ,エディンバラ大。シュプリンガーの本。

Chapter I Knots and Knot Types
Chapter II The Fundamental Group
Chapter III The Free Groups
Chapter IV Presentation of Groups
Chapter V Calculation of Fundamental Groups
Chapter VI Presentation of a Knot Group
Chapter VII The Free Calculus and the Elementary Ideals
Chapter VIII The Knot Polynomials
Chapter IX Characteristic Properties of the Knot Polynomials


Knot Theory
http://varf.ru/rudn/manturov/book.pdf

  • ロシア発,413ページもある。

I Knots,links,and invariant polynomials
1 Introduction
2 Reidemeister moves
3 Torus Knots
4 Fundamental group
5 Quandle and Conway's algebra
6 Kauffman's approach to Jones polynomial
7 Jones' polynomial
II Theory of braids
8 Braids,links and representations
9 Braids and links
10 Algorithms of braid recognition
11 Markov's theorem
III Vassiliev's invariants
12 Definition and Basic notions
13 The chord diagram algebra
14 Kontsevich's integral
IV Atoms and diagrams
15 Atoms,height atoms and knots
16 The bracket semigroup of knots
V Virtual knots
17 Basic definitions
18 Invariant polynomials of virtual links
19 Generalised Jones Kauffman polynomial
20 Long Virtual Knots
21 Virtual braids
VI Other theories
22 3-manifolds and knots in 3-manifolds
23 Legendrian knots and their invariants

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