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現代数学の最重要な関数,「リーマン・ゼータ関数」の教科書PDF。素数定理・リーマン予想を勉強するノート

数学 講義ノート リンク集 数論 予想や未解決の難問 解析的整数論


ゼータ関数について勉強するための,入門用の資料。

ゼータ関数を題材にした,リーマン予想(=未解決問題)や素数定理の話を含む。


ゼータ関数は,現代数学において最も重要な関数であり,解析的整数論の要だ。

またゼータの特殊値を具体的に計算すると,物理学への実用的な応用が多いことにも驚かされる。


(1)ゼータ関数の性質と,物理で使う特殊値

しっかり学べるノート:

代数学特論-リーマンのゼータ関数と素数分布について
http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/r...

  • 44ページ,上越教育大。

1 素数の無限性
2 リーマンのゼータ関数
3 ガンマ関数
4 ガンマ関数とsin xの関係
5 ζ(2)の値
6 ゼータ関数の関数等式
7 オイラー積表示
8 素数定理
9 複素関数としてのゼータ関数
10 素数定理の証明


平成17年度後期代数学D・代数学基礎講義B
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp...

  • 22ページ,広島大。

1. Riemannゼータ関数とDirichlet L関数
2. 解析接続と関数等式
3. Riemann ζ関数の特殊値
4. 素数定理
5. 算術級数定理


Lectures on zeta functions, L-functions and modular forms with some physical applications(ゼータ関数とL関数およびモジュラ形式とその物理学での応用に関する講義)
http://library.msri.org/books/Book57/...

  • 94ページの良質な教科書。バークレイの数理科学研究所。

1. Analytic continuation and functional equation of the Riemann zeta function
2. Special values of zeta
3. An Euler product expansion
4. Modular forms: the movie
5. Dirichlet L-functions
6. Radiation density integral, free energy, and a finite-temperature zeta function
7. Zeta regularization, spectral zeta functions, Eisenste in series, and Casimir energy
8. Epstein zeta meets gravity in extra dimensions 66
9. Modular forms of nonpositive weight, the entropy of a zero weight form, and an abstract Cardy formula


Lectures on the Riemann Zeta-Function
http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/...

  • 154ページ。インドのボンベイにあるタタ基礎研究所のチャンドラセカラン氏による。

1 The Maximum Principle 1
2 The Phragmen-Lindelof principle 9
3 Schwarz’s Lemma
4 Entire Functions
5 Entire Functions (Contd.) 35
6 The Gamma Function
7 The Gamma Function: Contd 55
8 The Zeta Function of Riemann 63
9 The Zeta Function of Riemann (Contd.) 69
10 The Zeta Function of Riemann (Contd) 75
11 The Zeta Function of Riemann (Contd) 87
12 The Zeta Function of Riemann (Contd) 97
13 The Zeta Function of Riemann (Contd) 105
14 The Zeta Function of Riemann (Contd) 113
15 The Zeta Function of Riemann (Contd) 121
16 The Zeta Function of Riemann (Contd) 127
17 The Zeta Function of Riemann (Contd) 135


Ikuroさんの数学コラムで,Riemannゼータ関数に関係したページの一覧
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140528/p3

  • Webページとして閲覧できる解説記事。たくさんある。


ゼータ関数について,短くまとまったノート:

「無限和1+2+3+…の値とその先に見えるもの」
http://www.jst.go.jp/crest/math/ja/caravan/20131117_Okayama/4)Nakasuji.pdf

  • 上智大,5ページのスライド資料。内容は非常に初歩的で,素数の役割からリーマン予想の紹介まで。


整数と素数のなぞ
http://www.math.kobe-u.ac.jp/~tani/na...

  • 神戸大,12ページ。内容はやさしい。

1 素数の並び方
2 素数と平方和
3 ゼータ関数の値
4 三角関数の不思議な公式


数の体系の広がり,周期積分,そして整数論−代数と幾何と解析の交わる世界
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~oc...

  • 大阪大,21ページ。

1.数の体系の広がりと諸相
2.ゼータ函数
3.数論的多様体の周期積分
4.数論的周期とゼータ関数の特殊値とのつながり


ゼータ関数
http://www1.ocn.ne.jp/~amonphys/amonz...

  • 9ページ

1.1三角関数の部分分数展開
1.2ゼータ関数
1.3リーマン予想
1.4アベル・プラナの和公式


zeta.pdf
http://kyomura.web.fc2.com/math/zeta.pdf

  • 14ページ。

2 ゼータ関数の関数等式
3 ベルヌーイ数
4 ゼータ関数の特殊値とベルヌーイ数



ゼータ関数の特殊値の導出(物理学でよく使う値):

量子統計力学で用いるζ(2)とζ(4)の導出
http://www.gsim.aoyama.ac.jp/~fukui/B...

  • 5ページ。
  • 引用:ボース・アインシュタイン凝縮をはじめ、量子統計力学の理解に欠かせない特殊関数であるツェータ(ゼータ)関数は、引数が偶数の場合、近似ではなく正確な値(ただし無理数)がわかっている。


ζ関数の特殊値について
http://www1.tst.ne.jp/ja9nfo/math/zet...

  • 7ページ。読みやすい。

2つの無限級数の収束・発散について
多重対数関数とζ(2n)のevaluation

(2)素数定理とリーマン予想

素数定理について(リーマン予想を研究すると,途中で素数定理に遭遇する):

素数定理の初等的な証明について - prime.pdf
http://blog.pahko.jp/inner_link/prime...

  • 5ページ。素数定理の証明。スターリングの近似式(統計的な手法)を使う。


素数定理
http://yumemusou.web.fc2.com/prime.pdf

  • 19ページ。素数予想をグラフで解説。logの近似を使って証明。
  • 引用:素数を数える問題(どのように研究したらいいのかわからない) → 解析学(微分積分)の問題(研究しやすい) のように問題を置き換えたことが数学の進歩につながったわけです。


素数定理一気呵成
http://www.math.tohoku.ac.jp/~atsushi...

  • 14ページ。ディリクレ級数を使った素数定理の証明。



リーマン予想(ζ関数の零点)について:

リーマン予想
http://www1.tmtv.ne.jp/~koyama/papers...

  • 10ページ。

1 リーマン予想(RH)とは
2 RHと素数分布
3 いろいろなゼータ
4 RHの裏付け
5 RHの奥深さ


Lectures on the Riemann Zeta Function
http://pedrohpontes.files.wordpress.c...

  • ゼータ関数の零点の分布に関するかなり突っ込んだ話。136ページ

my goal was limited to showing only a few classical results on the distribution of the zeros
in Part II of these lectures, I present in full detail the result of N. Levinson (1974), which asserts that more than one third of the zeros are critical (lie on the line Re s = 1/2).


Riemann Hypothesis - Numberphile - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=d6c6u...

  • 17分の動画。ζ関数の性質からリーマン予想を紹介


The Riemann Hypothesis: How to make $1 Million Without Getting Out of Bed - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=yhtcJ...

  • イェール大の1時間あるプレゼン動画。素数の出現頻度,メビウス関数。途中で楽器を吹き出す


Ikuroさんの数学コラムで,リーマン予想と素数定理に関係したページの一覧
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140529/p1

  • Webページとして閲覧できる。


「与えられた数より小さな素数の個数について」
http://ehrlich.shinshu-u.ac.jp/math/i...

  • 8ページ,ベルンハルト・リーマンによる原論文の日本語訳。


数論に関する最近の話題
http://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/bitstream/2115/54589/1/ES_63(2)_271.pdf

  • 北大,7ページ。

整数と素数の関係(リーマン予想など)
最近20年間の発展(フェルマー予想など)

(3)ゼータ関数の応用や発展

ゼータをめぐる物理学,解析接続:

ゼータ関数と量子カオス
http://www1.tmtv.ne.jp/~koyama/papers...

  • 7ページ。雑誌「数理科学」のコラム。
  • 引用:本稿では,素数定理の初項,第二項,という概念を詳しく解説し,それらとゼータ関数との関わりを見る.続いて,ゼータ関数の非自明零点の分布をランダム行列理論で記述するという最先端の研究の一端を紹介する.これによって,数論的量子カオスが数の世界の量子力学であるという位置づけがご理解頂けるものと思う.... 素数の分布を支配すると考えられている非自明零点が,単なるランダム数列ではなく,ランダム行列の固有値分布に従うという発見。

2.リーマン・ゼータ関数
3.量子カオス


場の量子論におけるカシミール効果
http://www.kitasato-u.ac.jp/sci/resea...

  • 北里大,2ページの要約。


全ての素数の積が4π^2になる件についての調査ログ (ゼータ関数の解析接続や,リーマン予想とカシミール効果)
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140213/p1


熱力学形式のセルバーグゼータ関数への応用
http://mathsoc.jp/publication/SemProb...

  • 56ページ。セルバーグのゼータ関数と力学系の関わり。


発展的な最近の話:

多重ゼータ関数の解析接続と漸近展開
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyod...

  • 京都大,12ページ。最近の研究の話。


Eisenstein級数と概均質ベクトル空間のゼータ関数
http://www.math.kobe-u.ac.jp/publicat...

  • 63ページ,立教大。
  • 紹介:主な目的は,様々なゼータ関数の関数等式のよって来るところをなるべく統一的に理解しようという試みの一つの到達点である「弱球等質空間のEisenstein級数」について解説すること。天下り的に弱球等質空間から出発するのではなく,不十分であってもRiemannゼータ関数から始まるゼータ関数の拡張の流れの中に位置づけて説明する

1. 関数等式を満たすDirichlet級数の系統的構成
2. Riemannゼータから概均質ベクトル空間のゼータへ
3. Epsteinゼータ関数からEisenstein級数へ
4. 弱球等質空間のEisenstein級数
5. Rankin-Selberg法との関係



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