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大学の数学で,微積分(解析学)の講義ノートPDF。演習問題と解答付き(大学1年で学ぶ,1変数と多変数の微分積分学のオンライン教科書)

数学 講義ノート リンク集 解析学


大学の初年度で学ぶ,微分・積分(=解析学)の講義ノートPDF。

良質な講義資料を集めた。演習問題と解答もある。おかげで,高い参考書を買わなくて済む。


夏学期には「一変数の微積分」を扱い,
冬学期に「多変数の偏微分・重積分」を扱うケースが多い。


微分には極限やε-δ論法,級数展開,収束などが含まれ,
積分には線・面・体積の積分や広義積分を含む。


これらの範囲が,1冊の教科書の中に収められている。


※並列学習として,線形代数の講義ノートはこちら

※解析学の続きとして,複素解析微分方程式ベクトル解析がある。

解析学の講義ノート

まず,大学1年生で学ぶ解析学の要点は,下記の記事で要約してある。 先に目を通しておこう。

大学1年生で学ぶ数学「解析学・微積分」の要点まとめ,勉強法の解説。 入門用に全体像・概要をわかりやすく紹介
http://language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/2016/03/30/%E5%A4%A7%E5%A...

  • 大学1年生で学ぶ数学のうち,「解析学の基礎(微積分)」について 勉強法やポイントを,図表を交えつつ分かりやすく解説。 つまずきがちな微積分の全体像をつかめる。


大学の微積分を丸ごとカバーした講義ノートPDF(ページ数が多いもの):

微分積分学入門 - text_calculus.pdf
http://www7b.biglobe.ne.jp/~h-kuroda/...

  • 大阪府立大。540ページもある。高校の数学の復習から始めて,多変数の微積分まで。

第1章 序論
 1 高校で学習した重要事項の復習
 2 関数
第2章 実数の集合
 1 区間と近傍
 2 上限・下限
 3 実数の連続性
第3章 数列の極限
 1 数列の極限の定義
 2 数列の極限の性質
 3 数列の極限の計算例
 4 級数
 5 有界な単調数列
 6 数列に関する発展的内容
第4章 関数の極限
 1 関数の極限
 2 連続関数
 3 初等関数
 4 関数の一様連続性
第5章 微分法
 1 微分の定義と性質
 2 初等関数の微分
 3 具体的な微分の計算例
 4 高次導関数
 5 平均値の定理とその応用
 6 Taylorの定理とその応用
第6章 積分法
 1 積分の定義と性質
 2 不定積分と微分積分学の基本公式
 3 不定積分・定積分の具体的な計算例
 4 有理関数の積分
 5 広義積分
 6 積分法の応用
 7 積分法の発展的応用
第7章 級数と関数項級数
 1 級数の収束・発散
 2 関数列
 3 関数項級数
 4 整級数
第8章 多変数関数の極限
 1 ユークリッド空間の位相
 2 2変数関数の極限
 3 多変数連続関数とその性質
第9章 偏微分法
 1 偏微分の定義と計算
 2 全微分の定義と接平面の方程式
 3 高階偏導関数
 4 合成関数の微分法
 5 Taylorの定理
 6 2変数関数の極値
 7 陰関数
 8 条件つき極値問題
 9 3変数以上の関数の極値
第10章 重積分
 1 2重積分の定義と性質
 2 2重積分の変数変換
 3 n重積分
 4 広義重積分
 5 重積分の応用
 6 積分記号下の微積分


微分積分学入門
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp...

  • 芝浦工大。302ページ。実数の定義から。

 1 関数
 2 微分法
 3 積分法
 4 級数
 5 ベクトル関数
 6 偏微分法
 7 重積分法
 8 ベクトル解析入門


微分積分学
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~nobuo...

  • 300ページある教科書。演習問題の略解付き。京都大。

 1 準備
 2 上限,下限,連続公理
 3 極限と連続
 4 級数
 5 初等関数
 6 極限と連続,微分への準備
 7 一変数関数の微分
 8 初等関数,微分法を応用して
 9 極限と連続,積分への準備
 10 積分の基礎
 11 微積分の基本公式とその応用
 12 広義積分
 13 収束の一様性
 14 多変数関数の微分
 15 多変数関数の積分計算


わりと短めの,扱いやすい講義ノート:

微積分講義ノート
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching...

  • 1変数と多変数で分割してある。短くて読みやすい。茨城大。
  • 前半からの引用:
    • 「ノートでは、 微分の説明と積分の考えがほぼ交互に出てくるように意図的に配列した。 省いたものの代表例としては、極限計算における ロピタルの方法が挙げられる。 」
    • 「極限は、ただ計算できればよいというものではなく、 そのスピードまでもが問題となる。 そういった無限小解析の本質に迫る問題を扱うには、 テーラー展開に基づいた無限小量の程度の比較が避けて通れない。 」
  • 後半からの引用:
    • 「偏微分の順序交換可能であることの証明は、 重積分の平均値の定理を経由して導きだす。」
    • 「微分とは1次近似式だというとらえかたが大切である。 これは、数学者の間では、とっくに常識のはずにもかかわらず、 なぜか説明が不十分な教科書が未だに多いのはどうしたことか。 この1次近似式の考えがわかれば、写像の微分の意味も明らかであるし、 あるいは変数変換におけるヤコビアンの把握も難しくはない。」
    • 「ノートでは、ヘッセ行列をメインに出して、 二次近似式の意味をはっきりさせ、 行列の固有値の符号による判定条件を目標とする。 」


解答付きの演習問題集:

微積分学の演習問題
http://www.las.osakafu-u.ac.jp/~yamag...

  • 演習問題のPDFに,解答が含まれている。

Webページとして閲覧できる,教科書や公式集:

解析学I
http://tau.doshisha.ac.jp/lectures/20...

  • 同志社大。一変数の微積分


解析学II
http://tau.doshisha.ac.jp/lectures/20...

  • これも同志社大。多変数の微積分


ときわ台学/解析学/講義ノート目次
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/...


微分
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/cat...

  • 以下は金沢工業大学のもの


偏微分
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/cat...


積分
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/cat...


重積分
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/cat...

講義の動画:

大学の数学で,一変数と多変数の微積分の講義を,Youtubeの動画で学ぶ
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140508/p1


関連する記事:

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