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代数幾何学で,1億円の未解決問題「ホッジ予想」の解説PDFや動画

数学 予想や未解決の難問 幾何学 代数学 講義ノート 動画


解決すれば1億円の懸賞金をもらえるホッジ予想の解説PDFと,レクチャーの動画。


ホッジ予想は,21世紀の最大の難問の一つ。

クレイ数学研究所が指定した「ミレニアム懸賞問題」7つの中に入っている。


その7つの中で,ホッジ予想代数幾何学の分野に属する問題だ。

(とくにド・ラームコホモロジー


以下で,ホッジ予想の概要を理解するのに役立つ資料を掲載する。

なお,コホモロジーなど前提事項の入門として代数的トポロジーの講義ノート を読んでおくとよい。


※同じく未解決の賞金問題であるリーマン予想の資料や,解決済みのポアンカレ予想の資料,およびフェルマー予想の資料も参照。


(1)ホッジ予想の原文

ホッジ本人による原論文(1950):

THE TOPOLOGICAL INVARIANTS OF ALGEBRAIC VARIETIES / W.V.D. HODGE
http://www.mathunion.org/ICM/ICM1950....

これを現代風に手直しして,クレイ研究所が公開している問題文:

THE HODGE CONJECTURE / PIERRE DELIGNE
http://www.claymath.org/sites/default...

  • 5ページ。

Hodge Conjecture.

On a projective non-singular algebraic variety over C,
any Hodge class is a rational linear combination
of classes cl(Z) of algebraic cycles.


ホッジ予想(日本語訳)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9...

ホッジ予想

X を非特異な複素射影多様体とすると、X 上のすべてのホッジ類は、
X の複素部分多様体のコホモロジー類の
有理数係数の線形結合となるのではないか。


(2)ホッジ予想を解説するPDF

ホッジ予想は,問題そのものを理解することすら難しい。情報も少ない。

誰であっても解説資料に頼ることになる…。

INTRODUCTION TO THE HODGE CONJECTURE / JIM BROWN
http://www.math.clemson.edu/~jimlb/Se...

  • 9ページ。もとの問題文は専門家にしか理解できないが,それを大学院生レベルでも理解できるようにやさしく説明したのがこの文書。


The Hodge conjecture / Arnaud BEAUVILLE
http://math1.unice.fr/~beauvill/pubs/...

  • 22ページ。
  • Two preliminary sections(§1 and 2) introduce the basic ingredients necessary for the statement of the (usual) Hodge conjecture, which we give in §3. In §4 we explain why it must be slightly modified. We treat in §5 the case of codimension 1 cycles (= divisors), due to Lefschetz. In §6 we discuss the few cases where the conjecture is known, and the natural examples where it should be checked. In §7 we explain why the general Hodge conjecture must be modified, as was first noticed by Grothendieck. We examine in §8 some of the consequences of the Hodge conjecture on the structure of the group of algebraic cycles; more generally we say a few words on the relation of Hodge theory with that group.


The Hodge Conjectures - hodgeEnglish5.pdf
http://www.mathe8.uni-bayreuth.de/Leh...

  • 103ページのスライド。


Some aspects of the Hodge conjecture Claire Voisin CNRS, Institut de Mathematiques de Jussieu
http://www.math.polytechnique.fr/~voi...

  • 32ページ。解析学・トポロジー・代数学のそれぞれの面からみた場合のホッジ予想を論じる。

(3)ホッジ予想についての動画

まず,クレイ研究所で2000年に行なわれた,ミレニアム懸賞問題の紹介のようす。

ポアンカレ予想の次にホッジ予想を扱っている:

Poincaré conjecture, Hodge conjecture, Quantum Yang-Mills problem, Navier-Stokes problem - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=oOYxc...

  • 2013/03/26 に公開, by artzejak

ホッジ予想の講義。同じくクレイ研究所で開催:

Dan Freed on the Hodge Conjecture at the Clay Mathematics Institute - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=p3DOG...

  • 2011/06/10 にアップロード, by Francis WorldInsideOut


かなり丁寧な,初心者向けの解説動画があった。

複素平面から始めて,6部作で代数幾何とホッジ予想を紹介している:


おまけ。

Hodgeの「Conjecture」という音楽がある。

内容はテクノ(ちょっとアンビエント)で,ホッジ予想との明確な関連はないが,あきらかに狙ったネーミング。

Hodge - Conjecture - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=S1l96...

  • 2011/03/20 にアップロード, by DUBPLATEPOLICE.COM



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