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数学の「ポアンカレ予想」を理解するための,動画・原論文・読み物・PDFのまとめ (ポアンカレからペレルマンまでの流れ)

数学 幾何学 動画 講義ノート 予想や未解決の難問

数学の「ポアンカレ予想」を理解するための資料として,

動画・原論文・日本語の読み物・PDFなどをまとめた。


数学者ポアンカレによる原著と,それを解決したペレルマン氏の論文,

さらにペレルマン氏が100万ドルの賞金を辞退した件の小説など。


数学をかじりたい普通の人,(リッチフローの観点で)位相幾何を本格的に学びたい人,科学史に興味がある人などに役立つ。


目次:

(1)「ポアンカレ予想」を学べる動画

ポアンカレ予想の解決に関する動画。

上智大学による,高校生向けの講義(40分ほど):


NHKのドキュメンタリー(110分):

NHKオンデマンド | ハイビジョン特集 数学者はキノコ狩りの夢を見る 〜ポアンカレ予想・100年の格闘〜
https://www.nhk-ondemand.jp/goods/G20...

  • 2007年放送,本編:110分


数学を伝えるという“難問”〜ポア ンカレ予想取材記〜 NHK名古屋放送局制作部ディレクター 春日 真人
http://mathsoc.jp/publication/tushin/...

  • この番組を作るために,ペレルマン氏を取材した人の手記・コラム。6ページ。


幾何化予想(日本語):

【 幾何化 予想 ( きかか よそう ) 】 グリゴリー・ペレルマン は この理論のおかげで ポアンカレ予想を 証明出来た NHK
https://www.youtube.com/watch?v=8tGSC...

  • 2分。幾何化予想が「8種類に分類する」ことを,ビーズが複雑な図形を生むことになぞらえて説明。

(2)「ポアンカレ予想」の原論文・PDF

ポアンカレ(Henri Poincaré)自身による,フランス語の原文:

Henri Poincaré - du mathématicien au philosophe | Cinquième complément à l'analysis situs(位置解析への第五の補足)
http://henri-poincare.ahp-numerique.f...

  • ポアンカレによる「Cinquième complément à l'analysis situs」の原論文,フランス語。
  • とくに,ポアンカレ予想を述べている部分を抜粋したもの。


JOURNAL DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE. ANALYSIS SITUS(位置解析) M. H. POINCARÉ
http://www.univ-nancy2.fr/poincare/bh...

  • 121ページ。ポアンカレ本人による「ANALYSIS SITUS」の原論文。フランス語。
  • この論文に対する補足の5番目が,先述した「Cinquième complément à l'analysis situs」である。


ポアンカレの文章を,英語に訳したもの:

Papers on Topology Analysis Situs and Its Five Supplements
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers...

  • 281ページ。「Analysis Situs」と,その5つの補足を全訳したもの。この5番目の補足の,一番末尾の部分でポアンカレ予想が述べられている。
  • 13ページから引用:Finally, the discovery of Poincaré homology sphere in Supplement 5 opened his eyes to the real problem, and the Poincaré conjecture as we know it today was born: a closed 3-manifold with trivial fundamental group is homeomorphic to the 3-sphere.
  • 272ページから始まる「One question remains to be dealt with:」からの文がポアンカレ予想。


Papers on Topology: Analysis Situs and Its Five Supplements (History of Mathematics): Henri Poincare, John Stillwell: 洋書
http://www.amazon.co.jp/Papers-Topolo...

  • 英訳の中古品が売られている。


原文に関する考察:

「ポアンカレ予想」の正確な数学的理解を目指して: テンメイのRUN&BIKE
http://tenmei.cocolog-nifty.com/match...

  • 引用:
    • 「3次元閉多様体が、単連結のとき、3次元球面と同相になるであろう」(現代数学小事典,講談社)
    • 「単連結な3次元閉多様体は3次元球面Sに同相である」(Wikipedia)
      • 「宇宙の中の任意の一点から長いロープを結んだロケットが宇宙を一周して戻ってきて、ロープの両端を引っ張ってロープを全て回収できた場合、(ロケットがいかなる飛び方をしても)宇宙の形は概ね球体(=ドーナツのような穴のある形、ではない)と言えるのか、という問題」
    • 「境界のないコンパクト3次元多様体Vを考えよう。Vが3次元球面でないにもかかわらず、Vの基本群が自明となることがありえるか?」(ミルナー氏による表現)
    • ペレルマンの論文の中で「ポアンカレ予想」(Poincare conjecture)という言葉は一度も使われてない。なぜかと言うと、代わりに 「幾何化予想」(geometrization conjecture)というものを証明してるから

(3)ペレルマン氏による証明の論文PDF

ペレルマン氏による論文のPDF:

The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications / Grisha Perelman ∗ February 1, 2008
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/02...

  • 「リッチ・フローに対するエントロピー公式とその幾何的応用」


Ricci flow with surgery on three-manifolds / Grisha Perelman ∗ February 1, 2008
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/03...

  • 「3次元多様体の上での手術つきリッチ・フロー」


Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds / Grisha Perelman ∗ February 1, 2008
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/03...

  • 「 ある3次元多様体上のリッチ・フローの解に関する有限消滅時間」

※タイトルの日本語訳はテンメイ氏によるもの。


ちなみに,「Grisha」はペレルマン氏のペンネームである。

(4)「ポアンカレ予想」と「ペレルマン氏の理論」を解説している,学術的なノートや資料

日本語で解説した,学術的なノート:

ポアンカレ予想はいかにして解決されたか 小林亮一 名古屋大学多元数理科学研究科
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/ja/pu...

  • 17ページのスライド。ガウスとリーマン幾何から始めて,ハミルトン・ペレルマンまでの流れを解説した,よくまとまった資料。


ricciflow_lect.dvi - ricciflow_lect-ver2.pdf
http://www.f.waseda.jp/homma_yasushi/...

  • 早稲田大,118ページ。リッチフローの基礎から,ペレルマン氏の理論まで扱う。かなり難。

 1.リッチフローの基礎事項
 2.テンソルに対する最大値原理と3次元リッチフローのピンチング
 3.リッチフローの曲率の局所勾配評価とリッチフローの列の幾何収束
 4.リッチフローの勾配流解釈とその応用
 5.リーマン幾何的熱浴.L幾何.ハルナック不等式
 6.伝播型非局所崩壊定理.微分形の単調性定理.擬局所性定理
 7.κ解(非負曲率作用素を持ち非崩壊な古代解)
 8.3次元κ解
 9.ペレルマンの標準近傍定理


ポアンカレ予想 ジョン・ミルナー ニューヨーク州立大学ストーニーブルック校 2000年3月
http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/users/...

  • 6ページ。予想そのものを歴史的に解説した資料。2000年の時点で未解決だったころの話が載っている。サーストンまでで話が終わっている。

 始めの頃の勘違い
 高次元の場合
 サーストンのプログラム


トポロジー入門
http://www.topo.hokudai.ac.jp/educati...

  • 北大,41ページ。ポアンカレ予想を例に位相幾何学を紹介するスライド。


トポロジー(位相幾何学)の未解決問題 ポアンカレ予想
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/eiji/Poi...

  • 30ページのスライド。ポアンカレ予想の易しめの解説。


英語での解説:

A COMPLETE PROOF OF THE POINCARE AND GEOMETRIZATION CONJECTURES – APPLICATION OF THE HAMILTON-PERELMAN THEORY OF THE RICCI FLOW
http://www.ims.cuhk.edu.hk/~ajm/vol10...

  • 328ページもある。(ハミルトンと)ペレルマン氏による幾何化予想とポアンカレ予想の証明を,徹底的に説明している。
  • Abstract. In this paper, we give a complete proof of the Poincaŕe and the geometrization conjectures. This work depends on the accumulative works of many geometric analysts in the past thirty years. This proof should be considered as the crowning achievement of the Hamilton-Perelman theory of Ricci flow.

 1 Evolution Equations
 2 Maximum Principle and Li-Yau-Hamilton Inequalities
 4 Formation of Singularities
 5 Long Time Behaviors
 6 Ancient κ-solutions
 7 Ricci Flow on Three-manifolds


フランス語による解説:

Conjecture de Poincare:lapreuve de R. Hamilton et G. Perelman
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~l...

  • 29ページ,フランス語。ペレルマン氏の証明を解説するペーパー。
  • L’objectif de ce texte est de pŕesenter la preuve de la conjecture de Poincar ́e propos ́ee par Grisha Perelman, suivant les id́ees et ḿethodes de la th́eorie du flot de Ricci, d́evelopṕee pŕećedemment par Richard Hamilton.


14.La conjecture de Poincaré - 14.La conjecture de Poincare.pdf
http://www.collegedesaussure.ch/espac...

  • 同,4ページ。図入りのまとめ。


CONJECTURE DE POINCARÉ
http://villemin.gerard.free.fr/Pavage...

  • ポアンカレ予想のフランス語による解説ページ。

(5)ポアンカレ予想が解かれるまでの歴史を扱った,日本語の読み物

読みやすい読み物:

ポアンカレ予想 世紀の謎を掛けた数学者、謎を解き明かした数学者
ポアンカレ発ベレルマン行き 100年を走破する知的ドラマ
ジョージ・G・スピーロ著 鍛原 多恵子翻訳 永瀬 輝男、志摩 亜希子監修
http://www.ivis.co.jp/wakamizu/text/2...

  • ポアンカレおよびポアンカレ予想と,位相幾何学についての読み物。前半14ページ。小説的。

 1章 王にふさわしい偉業
 2章 ハエにわかってアリにわからないこと
 3章 技師は真実を追究する
 4章 ポアンカレへの褒賞
 5章 ユークリッド抜きの幾何学
 6章 ハンブルグからコペンハーゲンへ、そしてノースカロライナ州ブラックマウンテンへ
 7章 あの予想の意図


(続き)
http://www.ivis.co.jp/wakamizu/text/2...

  • 前半の続き,17ページ。サーストンとリッチフロー,ハミルトン,ペレルマンまで。中国人による論文盗用の話も。

 8章 袋小路と謎の病気
 9章 高次元への旅
 10章 ウェストコースト風の異端審問
 11章 消える特異点、消えない特異点
 12章 葉巻の手術
 13章 四人組みプラス2
 14章 もうひとつの賞


ポアンカレ予想が解かれた!(その3)
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/...

  • コラム。幾何化予想と特異点を軸に,どうやって解かれるにいたったかを説明。

 【1】サーストン
 【2】ハミルトン
 【3】ペレルマン

(おまけ)

ペレルマン氏に関する動画:

Grigori Perelman.flv
https://www.youtube.com/watch?v=0jO9A...

  • ロシア語で,英語の字幕つき。
  • 内容は皮肉で,ペレルマン氏に対して失礼だと思う。最後は「チャンチャン」という効果音で終わる。
  • 「ナビエ・ストークス方程式を解いたのに,掃除したら消えちゃった」「オバマ大統領から電話がかかってきたけど,お金は要らない」このあたりは,周囲の人が彼に抱くイメージ。

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