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数学の「超越数論」を独学するための教科書PDF。「代数的数論」の発展分野で,未解決問題多し

数学 数論 講義ノート


数学・数論の一分野で,「超越数論」を勉強するためのフリーPDFのまとめ。

円周率πや,ネイピア数 e などの「超越数」を研究する分野。


超越数とは,「代数的数(=代数方程式の解)ではない数」のことである。

したがって,代数的数論の延長線上に超越数論がある,と考えてよい。

なので,ガロア理論などの代数的数論をよくわかった上で取り組もう。


前提知識を独学で学ぶためには,初等整数論と代数的数論の講義ノートPDFや,群・環・体の講義ノートPDFを読むとよい。

また,解析数論の一分野であるゼータ関数論も超越数論と関連が深い。

超越数論の概要

超越数論では,「ある数が超越数かどうか(=代数的数ではないかどうか)を判定する」という作業がメインになる。

この判別が非常に難しく,未解決問題が多い


たとえば π や e が超越数であることは証明でき,

e^π の超越性も同じく証明されている(ゲルフォント定数)。


にも関わらず,単純な和 π+e や,差 π - e の超越性はまだ証明されていない。

超越数論は奥が深いのだ。


ちなみに、ある数が超越数かどうかの判定ができれば、

その数を定規とコンパスによって作図可能であるかどうかがわかる。

  • 「円積問題は解けるか?」(円と同じ面積の正方形を作図可能か)
  • 「Πという長さを作図可能か?」

など、かなり身近で初等的な疑問に答えられるようになる。(答えはどちらも不可能)

この辺は、超越数論や代数的数論が実用的な応用に役立つ価値を持っていることを示す実例だ。

超越数論を勉強するためのテキストPDF

しっかりした教科書を無料で読める。

日本語のPDF:

日大の平田さんのレポート
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2...

  • 40ページ,日大(公開は理科大)。報告の形式を取っているが,日本語で読める超越数論の教科書PDFとして最良か。

1 対数一次形式の理論と応用 : HermiteからBaker,Matveevまで
 1.1 超越数はなぜ面白いか
 1.2 超越数の例について
 1.3 Hermite-Lindemannの定理など
 1.4 高さとMalher measure
 1.5 A. Bakerによる対数一次形式の理論
2 部分空間定理と単数方程式:SiegelからSchmidt,Faltingsまで
 2.1 ディオファントス方程式の概念
 2.2 Dirichletの定理
 2.3 Rothの定理
 2.4 部分空間定理
 2.5 単数方程式
 2.6 数の幾何学について
 2.7 Norm形式方程式
 2.8 部分空間定理の数論幾何学への応用
 2.9 オートマトン論への部分空間定理の応用
 2.10 Kroneckerの定理
 2.11 三角関数と有理数の話題
3 最近の新結果の紹介
 3.1 Nesterenkoによる3数の代数的独立性について
 3.2 単数方程式と指数方程式
 3.3 Euler型の指数型ディオファントス方程式について
 3.4 楕円曲線における対数一次形式の最良評価
4 ディオファントス問題における未解決問題
 4.1 いろいろな関数の値の超越性や無理数性に関する未解決問題
 4.2 対数一次形式に関する未解決問題
 4.3 abc予想
 4.4 p進対数一次形式

英語で読める教科書PDF:

TRANSCENDENTAL NUMBER THEORY
http://www.plouffe.fr/simon/math/Tran...

  • 155ページ,ケンブリッジ大,1975年。

 1 The origins(起源)
 2 Linear forms in logarithms(対数関数の一次形式)
 3 Lower bounds for linear forms(一次形式の下限)
 4 Diophantine equations(ディオファントス方程式)
 5 Class numbers of imaginary quadratic fields(虚二次体の類数)
 6 Elliptic functions(楕円関数)
 7 Rational approximations to algebraic numbers(有理数を使った代数的数への近似)
 8 Mahler's classification(マーラーの分類)
 9 Metrical theory(測度論)
 10 The exponential function(指数関数)
 11 The Siegel-Shidlovsky theorems(ジーゲル・シドロフスキの定理)
 12 Algebraic independence (代数的独立)

補助的なメモ・ノート:

超越数論入門
http://www5.pf-x.net/~tetsuya1/math/t...

  • 8ページの個人的なノート。

 Liouvilleの超越数の存在証明
 πとeの超越性
 Gelfond-Schneiderの定理


無理数と超越数 – リューヴィル数の値の超越性 –
http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/ise/gr...

  • 2ページ,南山大のメモ。

 超越数の有理数近似
 連分数展開による最良近似
 リュービル数の超越性


リンデマンの定理 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A...

  • この定理は、円周率やネイピア数などの数が超越数であることを内包する


自然対数の底e(ネイピア数)の,無理数や超越数・極限収束の証明などの公式
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140319/p2

  • 超越数である事の証明は,有理数係数の代数方程式を仮定して,その解がeだとして矛盾を導く。

関連する記事:

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