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数学の「ABC予想」の証明の原論文PDFと,わかりやすい解説資料。フェルマーの最終定理の別解を与える「宇宙際タイヒミュラー理論」

数学 数論 予想や未解決の難問 講義ノート


ABC予想とは,数論のディオファントス解析の最重要問題。

ABC予想の主張:

互いに素な自然数 a, b, c が a + b = c, a < b を満たすとする。

また,積 abc の互いに異なる素因数全体の積を Rとおく。

任意の正数 e に対し, c > R^{1 + e} となる a, b, c の組は有限個しか存在しない。

このABC予想は,1985年に提起された。

そして2012年には望月新一教授が,
これを証明したとする500ページほどの論文を発表した。


その証明の論文で使われている理論の名前は,

宇宙際タイヒミュラー理論(Inter-universal Teichmueller Theory)」
というすごい名前。

この理論を使うと,ABC予想だけでなくフェルマーの最終定理も導出される。


以下では,ABC予想の証明の原論文に加え,
ABC予想を理解するための初歩的なわかりやすい資料を掲載する。


※フェルマー予想については,「フェルマー予想」と「谷山・志村予想」のノートを参照。

※数論の基礎知識は,数論の講義ノート数論幾何の講義ノートを参照。

(1)ABC予想の解決に関連した,望月先生の「宇宙際タイヒミュラー理論」の原論文

望月新一教授による,ABC予想に関連した原論文のPDF(合計で500ページ超):

INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY I: CONSTRUCTION OF HODGE THEATERS
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~moti...

  • Shinichi Mochizuki July 2014
  • 167ページ。
  • the goal of which is to establish an arithmetic version of Teichmuller theory for number fields equipped with an elliptic curve ― which we refer to as “inter-universal Teichmuller theory” ― by applying the theory of semi-graphs of anabelioids, Frobenioids, the etale theta function, and log-shells developed in earlier papers by the author.


INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY II: HODGE-ARAKELOV-THEORETIC EVALUATION
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~moti...

  • Shinichi Mochizuki July 2014
  • 173ページ。
  • we study the Kummer theory surrounding the Hodge-Arakelov-theoretic evaluation ― i.e., evaluation in the style of the scheme-theoretic Hodge-Arakelov theory established by the author in previous papers ― of the [reciprocal of the l-th root of the] theta function at l-torsion points, for l ≥ 5 a prime number.


INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY III: CANONICAL SPLITTINGS OF THE LOG-THETA-LATTICE
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~moti...

  • Shinichi Mochizuki July 2014
  • 142ページ。
  • regarded as the culmination of the abstract conceptual portion of the theory developed in the series. In the present paper, we study the theory surrounding the log-theta-lattice, a highly non-commutative two-dimensional diagram of “miniature models of conventional scheme theory”, called Θ^{±ell} NF-Hodge theaters.


INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~moti...

  • Shinichi Mochizuki July 2014
  • 72ページ。
  • In the present paper, estimates arising from these multiradial algorithms for splitting monoids of LGP-monoids are applied to verify various diophantine results which imply, for instance, the so-called Vojta Conjecture for hyperbolic curves, the ABC Conjecture, and the Szpiro Conjecture for elliptic curves. Finally, we examine ― albeit from an extremely naive/non-expert point of view! ― the foundational/set-theoretic issues surrounding the vertical and horizontal arrows of the log-theta-lattice by introducing and studying the basic properties of the notion of a “species”, which may be thought of as a sort of formalization, via set-theoretic formulas, of the intuitive notion of a “type of mathematical object”.

この4つを要約したPDF:

A Panoramic Overview of Inter-universal Teichmuller Theory
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~moti...

  • By Shinichi Mochizuki


Papers of Shinichi Mochizuki
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~moti...

  • Inter-universal Teichmuller Theory
  • 望月先生のほかの論文も読める。

(2)ABC予想の解決を理解するためのわかりやすい資料

日本語でわかりやすく解説したPDF:

数学集中講義 ABC予想が証明された?
http://tsuwamono.kenshinkan.net/way/p...

  • 4ページ。「大学への数学」より抜粋。関係のある最近の大学入試問題も取り上げている。


ABC予想について
http://yato.main.jp/koneta/ABC_conjec...

  • 18ページのコラム。
  • ABC予想についての解説ノート。理数系から遠く離れた人たちに向けて書いたもの
  • 整数論の範疇だけで解けるような問題は、既にほとんど解けてしまっている。残った難問を解くためには他の分野の力を借りないといけない。フェルマー予想の解決にも幾何学が使われています
  • もしABC予想が正しければ、あのフェルマー予想の別証明が与えられたことになる。フェルマー予想の反例となるx, y, zが仮に存在するなら、nの可能性は5以下である。n = 3, 4, 5のときはフェルマー、オイラーなどによって証明されています。よって、すべての場合にフェルマー予想が正しいことが判りました。


Webページとして読める資料:

ABC予想のすごさがなんとなく分かるように説明してみるよ。フェルマー最終定理との関係で。: 未来の普通
http://normahead.seesaa.net/article/2...

  • 数学者ではない理系がなるべく簡単な説明を試みる


さらにABC予想のすごさがなんとなくわかった気になるお話: 未来の普通
http://normahead.seesaa.net/article/3...

  • つまり、足し算の式が掛け算の式で調べられる、そのことがとてもありがたいのです。
  • ABC予想は c < rad(abc)2 となっていて、「c を手当たり次第調べるときも rad(abc)2 まででいいからね〜」と言ってくれてる


ABC予想って何? - 小人さんの妄想
http://d.hatena.ne.jp/rikunora/201209...

  • ある自然数を素因数分解して出てきた、全ての約数を並べてみる…。


動画で学ぶ:

What is the abc conjecture? - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=zk4U5...

  • 2014/03/22 に公開, by UConn Math
  • コネティカット大の講義。

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