2014-07-05

「代数的トポロジー」（代数的位相幾何学）の講義ノートPDF。ホモトピー・ホモロジーを使った幾何の入門

数学幾何学講義ノートリンク集代数学

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代数的トポロジー（代数位相幾何，algebraic topology）の講義ノートPDF。

独学に役立つ資料を集めた。

位相幾何学（トポロジー）は，「柔らかい幾何学」という通称を持つ。

その中でも代数的トポロジーは，
とくに図形が持つ代数的な構造（群など）に着目。

ポアンカレが１９世紀に導入したホモロジー・ホモトピーなどの用語を使うのが特徴。

図形（多様体）の上で「経路を少しずつずらしてゆく集合」を考えれば，ホモトピー群を構成できる。

それを圏論の観点で「関手」として考えたものがホモロジー。

そして，ホモロジーの双対がコホモロジーだ。

基本的な用語の概念をつかむだけでも容易ではない。

この「代数的位相幾何学」，下記の講義ノートで入門できる。

※前提として，群・環・体など代数の基礎をこちらのノートで，多様体と曲線・曲面の基礎を微分幾何学の基礎のノートで身につけておこう。

※代数トポロジーの難解さ・に挫折したら，具体的なイメージのわきやすい結び目理論に寄り道してみるとよい。

代数トポロジーの講義ノート

わかりやすい資料（入門に最適）：

ホモロジー群とその応用
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hira...

九州大のスライド，５１ページ。わかりやすい。

トポロジー，ホモロジー群，工学への応用。

トポロジーは応用できるか?
http://mathsoc.jp/outreach/2011aki/ta...

１０４ページのスライド。トポロジーの定義から，ホモトピー同値，ホモロジー，およびトポロジーの物理への応用。

引用：「ホモロジーは, 単体的複体や多様体のような幾何学的対象に対しアーベル群を対応させる「関数」のようなもの。ホモロジーは, 二つの圏の間の関手というものになっている。」

しっかり学べるPDF（教科書として使える）：

解説と演習『幾何学入門』 { より深い理解のために
http://osami.s280.xrea.com/geometry/d...

南山大学，１９８ページ。とても平易。正確な証明は省いているが，ホモトピーの定義やホモロジー群の導入をわかりやすく学べる。

「ここでは位相幾何学を取り扱っています．特に，ホモロジーを用いた幾何学に多くの時間を割いていいます．このような分野の幾何学を採り上げたのは，この分野の幾何学は予備知識がほとんどなくても理解できるからです．」

　第1回集合とそこから広がる世界
　第2回オイラーの定理
　第3回距離空間と開集合
　第4回　滑らかに変化するとはどういうことか？
　第5回　展開図で考える　閉曲面の世界
　第6回　群というアイデアで遊ぶ
　第7回　じわじわと動かす　ホモトピー
　第8回　基本群の話
　第9回　色々な図形の基本群
　第10回　単体と複体のはなし
　第11回　鎖とその境界
　第12回　ホモロジーの世界
　第13回　色々な図形のホモロジー

幾何学I / 幾何学概論V 　2009年
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~larsh...

名古屋大の講義資料。

微分形式とド・ラームコホモロジーの勉強を通して、代数トポロジーを紹介。

　１　イントロ
　２・３　交代代数
　４　微分形式
　５　ド・ラーム・コホモロジー
　６　ポアンカレの補題
　７　コチェイン複体とそのコホモロジー
　８　「１の分解」
　９　マイヤー・ビートリス系列
　１０・１１　ホモトピー不変性
　１２　ブラウワーの定理
　１３　ジョルダン・ブラウワーの定理

2013年度「幾何学入門」ホームページ
http://osami.s280.xrea.com/geometry/

名城大の講義資料。

　12 じわじわと動かす - ホモトピーの考え方
　13 基本群の定義
　14 色々な図形の基本群の計算
　15 全体のまとめ

動画で学ぶ：

代数的トポロジー（代数的位相幾何学）のオンライン授業を，Youtube動画で。ホモロジーの入門
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140705/p2

わりと高度：

近代ホモトピー論（ 1940 年代から 1960 年代まで）土屋昭博述中井洋史記
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publicati...

１２５ページ。東大の講義ノート。代数的位相幾何学。

　1　ホモトピー論の基礎概念
　2　ホモトピー群
　3　ホモロジー群とホモトピー群の相互関係（Serreの理論）
　4　障害理論とその応用
　5　有理ホモトピー論
　6　Steenrod代数とEilenberg-MacLane空間のコホモロジー
　7　安定ホモトピー圏
　8　複素コボルディズム理論とPontryagin-Thom構成
　9　複素コボルディズム理論とQuillenの理論

トポロジー
http://research.kek.jp/people/hkodama...

１０２ページ。前提知識が多い。

前提知識：加群，複体，圏論の関手，準同型写像などの代数的用語，

　1　ホモロジーとコホモロジー
　2　ホモトピー
　3　Manifolds（多様体）
　4　微分位相幾何学
　5　ファイバー束
　6　特性類
　7　Knots and Links

ホモロジーとコホモロジー
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ko...

大阪大，2011年，１３ページ。

　1　空間対
　2　単体複体
　3　Eilenberg-Steenrodの公理
　4　三つ組み完全系列
　5　Mayer-Vietoris完全系列
　6　鎖複体
　7　単体複体のホモロジー
　8　特異ホモロジー
　9　CW複体のホモロジー
　10　de Rhamコホモロジー
　11　双対定理
　12　コホモロジー環

大学入試の数学で，有名な名問や難問のまとめ（解答つき）。難易度は「標準」から「史上最大」まで

数学リンク集解かせたい問題動画試験問題と解答

大学入試の数学で，名問や難問のまとめ。

解答・解説付き。

受験勉強だけでなく，高校で習った数学の復習や，パズル，頭の体操に役立つ（特に難問）。

難易度は，３（標準）から５（史上最大）まである。

ぜひ楽しんで解いてみよう。

（難易度３）★★★：　名問，標準的な問題（やや難を含む）

（難易度４）★★★★：　有名な難問，および東大の数学

（難易度５）★★★★★：　史上最大の難しい問題（1998年の東大後期）

使い方…　４や５がわからない時に，３の分野別の説明で復習するとよい。

（難易度３）★★★　　：　名問，標準的な問題（やや難を含む）

まずは標準的なレベルから，やや難関ぐらいまでの問題のコレクション。

高校数学の復習にちょうど良い。

これが解けないと，この先の難問に太刀打ちできぬ。

分野別に分かれているもの：

大学入試問題／珠玉の問題集 | 京極一樹の数学塾
http://sid.co.jp/pg1418.html

名問だけを集めました。分類・整理の詳細は「大学入試問題のツボ」で個別に解説しています。これらの問題が解ければ、一流大学も合格間違いなし、のはずです。

入試問題セレクション
http://www.densu.jp/select.htm

IA・IIB・IIICの分野別に分けて出題。解答つき。約10年分の年度別。

数学問題集　2009年大学入試問題
http://et7.ojaru.jp/2009/

2009年に出題された問題から，分野別に細かく分類して掲載。解答つき。

「数学の問題をパズルのように楽しみながら考え解くことで思考能力を鍛えよう」

大学入試数学問題集
http://members.jcom.home.ne.jp/dslend...

分野別。難易度は標準的。解答つき。

大学入試数学の問題
http://www.geocities.jp/mikiotaniguch...

センター・私大の対策ができる。問題を押すと，その箇所の解答PDFをダウンロードできる。

分野の順番にこだわらない並べ方：

大学受験・数学塾　２次試験対策・私立対策
http://www42.tok2.com/home/makoto0614...

難易度が「標準」から「やや難」のものを，ランダムな順番で出題。

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（難易度４）★★★★　：　有名な難問，および東大の数学

入試数学の難問をまとめているサイトがある。

解答つきで，非常に勉強になる。頭の体操のネタにもなる：

伝説の入試問題（数学）＠受験の月
http://examoonist.web.fc2.com/legende...

良問・難問・奇問であるが故に伝説となっている、または伝説になってほしい(と個人的に思う)大学入試の数学の問題を集めてみた。数学史上に残る面白いエピソードや数学の小ネタなどの関連事項も紹介していきたい。

最難関大学受験対策の公式まとめ
http://mathtrain.jp/list

精鋭３０記事を集めました

例題と公式のリスト

さらに，東大入試の数学を網羅的にマスターしよう。

東大数学の過去問と解答のまとめサイト：

東大数学過去問ライブラリー
http://www.densu.jp/frtokyo.htm

「文系ライブラリー」の下に「理系ライブラリー」もある。問題と解答。

東京大学　数学入試問題過去問　５４年分　（一部解答例付き）
http://server-test.net/math/tokyo/

東大数学の対策は，manaveeの動画でも勉強できる。

イントロダクション-のりと解く!東大の関数･方程式(文系)
http://manavee.com/classroom?cur_id=78

イントロダクション-確実にとける東大文系数学
http://manavee.com/classroom?cur_id=79

その他の大学の過去問も，動画で視聴できる。

京大：
イントロダクション-京都大学文系数学2014
http://manavee.com/classroom?cur_id=668

イントロダクション-京都大学理系数学2014
http://manavee.com/classroom?cur_id=669

早稲田：
入試の傾向と対策 -現役早大生と解く早大教育数学　(2010年度)
http://manavee.com/classroom?cur_id=278

北海道と九州：
プロローグ-総代さんと学ぶ北大理系数学2009&2010
http://manavee.com/classroom?cur_id=257

イントロダクション-九大数学徹底分析〜2013年度〜
http://manavee.com/classroom?cur_id=618

イントロダクション-九大数学徹底分析〜2012年度〜
http://manavee.com/classroom?cur_id=675

入試の軌跡 & 入試問題(数学)
http://www1.ocn.ne.jp/~oboetene/plan/...

九州大と熊本大

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（難易度５）★★★★★：　史上最大の難しい問題（1998年の東大後期）

史上最大の難しい問題。

内容は「グラフ理論」。（※グラフ理論の講義ノートを参照）

問題：

東大理科　1998後期　
http://server-test.net/math/php_q.php...

第１問から第３問まで全て掲載

ネックである第３問の解答・解説：

史上最大の難問東大後期1998-問3｜東大カリスマ塾長浜田一志公式ブログ -9割が伸びる”文武両道”勉強法-
http://ameblo.jp/miraclemaster/entry-...

「大学入試史上　最も難しい問題を紹介します。 1998年東大後期入試，数学の問3です。数学オリンピックの難問レベル，大学の数学科の学生の夏のレポート課題並です。」

「このようなパズル的な問題の場合　「不変量はないか」　と考えます。「不変量」とは，操作を何回しても変わらないものです。」

図つきの解答

1998年東大入試後期日程、数学問3（2）の件 - Marriage Theorem 新居
http://d.hatena.ne.jp/MarriageTheorem...

この問題は数学系大学院修士課程の入試で出題されていても違和感の無い（むしろ難しい？）レベルの問題だと思います

思考過程つきの詳しい説明

入試史上最難問のエピソードがすごい
http://matome.naver.jp/odai/213544532...

予備校では解答作成を中断、帰宅することになった

代数トポロジーの講義ノート

（難易度３）★★★ ： 名問，標準的な問題（やや難を含む）

（難易度４）★★★★ ： 有名な難問，および東大の数学

（難易度５）★★★★★： 史上最大の難しい問題（1998年の東大後期）

（難易度３）★★★　　：　名問，標準的な問題（やや難を含む）

（難易度４）★★★★　：　有名な難問，および東大の数学

（難易度５）★★★★★：　史上最大の難しい問題（1998年の東大後期）