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微分方程式の講義ノートPDF。例題と解答付き (常微分方程式の初歩的な解き方を勉強)

数学 講義ノート リンク集 解析学


微分方程式の基礎を学ぶための講義ノートPDF。


独学に使えるオンライン教科書を集めた。院試対策の演習問題と解答もある。


微分方程式は,大学1年で必ず押さえておこう。

そうしないとあちこちで(ほとんど全分野で!)つまづいてしまう。


物理や工学の他にも,化学反応,生き物の個体数,価格の変動…などなど,

数式で動きをモデリング」する時に何にでも使う。早いうちにマスターしよう。


とくに解が厳密に求められるケースでは,

解き方のパターンを一通り押さえておく必要がある。

  • 求積法 →解を積分で表現
  • 級数解 →解を無限和で表現
  • 演算子法やラプラス変換 →代数的・記号的な操作

こういった基礎ができれば,次はもっと実用的な段階にステップアップできる:

  • 難しい微分方程式の場合,コンピュータで数値的に
    シミュレーション
    して解を求める。
    • ルンゲ・クッタ法などのアルゴリズムを使う。
    • 現実世界では,厳密に解けないので数値計算するケースのほうが多い。
    • ここで微分方程式の基礎知識が無いと,計算結果が正しいのかどうか判断・評価できない。なので基礎が大事。
  • 多変数の微分,すなわち偏微分方程式に進む事ができる。
    • 物理は偏微分方程式だらけ。
    • 多変数の微分は,結局は1変数の微分に帰着させて解く。だから,やはり常微分方程式が土台になる。


以下の資料で,常微分方程式を独学で勉強できる。

※大学1年の微積分の基礎は,こちらのノートで学習しよう。

※偏微分方程式の講義ノートはこちら

「常微分方程式」の講義ノート

PDF形式でしっかり学べる教科書:

和歌山大学教育学部 2011年度 微分方程式
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kikuc...

  • 74ページ。入門にもってこいのノート。
  • 引用:「定義や定理,計算結果などの羅列や箇条書きではなく,教科書の代わりになることを目指して,必要に応じて証明をつけている」

 1 微分方程式と初等解法
 2 基礎定理(解の存在と一意性など)
 3 線形常微分方程式


微分方程式(青山大)
http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/~tsubo...

  • 高階線形まで。演算子法やロンスキー行列も少し。

 初等解法 変数分離型.1階線形方程式.全微分型.
 基礎定理 初期値問題.解の存在と一意性.
 定数係数 線形方程式 斉次方程式と非斉次方程式. 重ね合わせの原理.基本解.演算子による解法.
 変数係数 線形方程式 ロンスキー行列式.定数変化法.


「微分方程式の求積法」
http://siva.cc.hirosaki-u.ac.jp/usr/m...

  • 早大,30ページ。求積法と1階・2階の定数係数線形微分方程式についての解法。例題付きで少ないページ数によくまとまっている。

 第1章 変数分離形
 第2章 同次形
 第3章 1階線形微分方程式
 第4章 完全微分方程式
 第5章 積分因子
 第6章 非正規形方程式
 第7章 Clairautの微分方程式
 第8章 2階定数係数微分方程式
 第9章 連立微分方程式


Introduction to Differential Equations
http://www.math.ust.hk/~machas/differ...

  • ホンコン科学技術大,128ページ。1階・2階からラプラス変換・級数解・非線形を経て偏微分方程式へ。

 0 A short mathematical review 1
 1 Introduction to odes 11
 2 First-order odes 13
 3 Second-order odes, constant coefficients 29
 4 The Laplace transform 47
 5 Series solutions 61
 6 Systems of equations 69
 7 Nonlinear differential equations 83
 8 Partial differential equations 97


演習問題と解答(院試対策になる):

応用数学入門演習詳解
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp...

  • 芝浦工大,167ページもある充実した問題集。1ファイルなのが嬉しい。解答は29ページ以降に詳しく載っている。

 第1章 1階線形微分方程式
 第2章 線形微分方程式
 第3章 連立線形微分方程式
 第4章 級数による解法
 第5章 ラプラス変換
 第6章 フーリエ級数
 第7章 偏微分方程式
 第8章 フーリエ変換


平成21年度 前期 微分方程式(九工大)
http://www.hwe.oita-u.ac.jp/rfukuda/0...

  • 演習の問題と解答例。1階,2階,連立微分方程式まで。


微分方程式演習 2005、2006 年度
http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanam...

  • 工学院大。2階とラプラス変換までの演習問題・解答。


Webページの形式で閲覧できるノート:

応用数学入門
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp...

  • 芝浦工業大。パターンごとの解法がすごく網羅されており,セクションごとに問題,および末尾に全問の解答がある。
  • 内容:1階,線形,連立,級数解,ラプラス変換,フーリエ級数,偏微分方程式も少し。


EMANの物理数学/微分方程式
http://homepage2.nifty.com/eman/math/...

  • 入門用の説明。定数係数・線形・非同次を経て,記号法も少し。


ときわ台学/微分方程式/解法と原理/講義ノート目次
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/...

  • 基本解法とフーリエ・ラプラス変換,特殊関数,波動方程式の解法。


そして主に工学系で,ラプラス変換(電気回路での応用)寄りの内容。

ラプラス変換をまじめに勉強するのは,制御論や回路学で必要になってからで構わない。

だが,「記号的な操作で微分方程式が解ける」という事は前もって把握しておこう。

ラプラス変換と常微分方程式メモ
http://www.rinku.zaq.ne.jp/bkdit405/b...

  • 大阪工業大学,「応用数学I」の講義用メモ。93ページ。電気回路向けのラプラス変換。

 第1章 常微分方程式−要約
 第2章 ラプラス変換
 第3章 超関数のラプラス変換
 第4章 複素反転公式
 第5章 2階の線形微分方程式
 第6章 付録1ー授業で用いる特殊関数と積分
 第7章 付録2ー梁(はり)の問題
 第8章 付録3ー2元連立常微分方程式


授業ノート〜常微分方程式〜
http://www4.atpages.jp/uts1class27/cg...

  • 63ページ。東大のシケプリ。解の一意性やロンスキアンの紹介などを経て,フーリエ・ラプラス法まで至る。

 1 微分方程式の基礎概念
 2 1階微分方程式の解法
 3 定数係数線形微分方程式
 4 ラプラス変換
 5 熱伝導方程式


計算ではなく,微分方程式「論」(=解の安定性の解析など)を学ぶためのノート:

数理科学モデル論
http://www.nsc.nagoya-cu.ac.jp/~hashi...

  • 名古屋市立大。
  • 引用:「微分方程式に対して解の挙動を調べる. そのために最も基礎となる事実は, 解の存在と一意性の定理である」

 1階常微分方程式
 2階線型常微分方程式
 解の存在と一意性の定理
 連立線形
 Mathematica による実習
 非線形常微分方程式
 偏微分方程式
 非線形偏微分方程式
 反応拡散方程式といくつかの例


微分方程式概論2008
http://www.math.titech.ac.jp/~inoue/O...

  • 東工大。

 第1回:微分方程式とは?初等的解法1
 第2回:微分方程式とは?初等的解法2
 第3回:解の存在定理、逐次近似法
 第4回:解の性質、Gronwallの不等式、微分可能性
 第5回:微分可能性(続)
 第6回: Ascoli-Arzelaの定理、Cauchyの折れ線法
 第7回: 冪級数解
 第8回: 解の延長可能性、線形常微分方程式の基礎
 第9回: 線形常微分方程式の基礎(続)
 第10回: 流れの相平面解析
 第11回: 流れの相平面解析(続)
 第12回: 漸近挙動
 第13回: 漸近挙動(続)
 第14回: 漸近挙動(続々)


Ordinary Differential Equations - Modern Perspective
http://www.math.iitb.ac.in/~mcj/root.pdf

  • ボンベイ大,271ページもある。常微分方程式だけで内容をずいぶん掘り下げた教科書。初期値問題,境界値問題,安定性解析,線形システムの制御理論も。

 1 Introduction To Ordinary Differential Equations
 2 Mathematical Preliminaries
 3 Initial Value Problems
 4 Linear System And Transition Matrix
 5 Stability Analysis
 6 Series Solution
 7 Boundary Value Problems
 8 Control Theory Of Linear Systems


動画で勉強:

線形の微分方程式の基礎を,動画で例題を解いて勉強する。Youtubeの「はんぺんロボット」
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140514/p3


熱拡散がテーマの微分方程式を,Youtubeの動画で学ぶ。慶応大学「分布系の数理」の全動画
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140508/p2


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