量子コンピュータ・量子情報の講義ノートPDF。量子計算や量子通信の理論を，基礎から応用まで勉強するための教科書や資料

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量子コンピュータ・量子計算について勉強するための，講義ノートや教科書PDF。

基礎理論から，詳しく独学に使えるノートを集めた。

量子情報処理では「エンタングルメント」などの量子力学的なしかけを使い，

量子計算のハードウェア（＝量子コンピュータ）を実現。

その上で量子暗号・量子フーリエ計算などの具体的なアルゴリズムを実行する。

ただし従来のコンピュータと違い，

ハードとソフトがほぼ分離されていないので注意。

量子コンピュータは，世間に与えるインパクトが非常に大きいため，

専門外の一般向けの資料も多い。

ここでは下記の分類にしたがってPDFを掲載する。

（１）数式を使って，しっかり学習するための資料

（２）数式を使わない，一般向けの解説資料

量子計算の基礎となる量子力学はこちらのノート，
光学・量子光学はこちらのノート，

情報と暗号の理論はこちらのノート，線形代数はこちらのノートで勉強されたい。

（１）数式を使って，しっかり学習するための資料

ちゃんとした講義資料や教科書：

電子情報通信学会知識ベース｜5編　量子通信と量子計算
http://www.ieice-hbkb.org/portal/doc_...

電子情報通信学会による知識ベース。しっかりしたテキストとして書かれている。このサイトがベスト。

　1章量子通信と量子鍵配布
　　1-1 量子通信理論
　　1-2 量子鍵配布理論
　　1-3 量子鍵配布実験：離散量QKD
　　1-4 量子鍵配布実験：連続量QKD
　　1-5 光源技術
　　1-6 光子検出器技術
　2章量子ネットワーク
　　2-1 量子中継
　　2-2 量子テレポテーションネットワーク
　3章量子計算
　　3-1 量子計算理論
　　3-2 量子誤り訂正
　　3-3 量子アルゴリズム
　　3-4 量子シミュレーション
　　3-5 観測による量子計算モデル
　　3-6 量子断熱計算・量子アニーリング
　　3-7 光を用いた量子計算
　　3-8 中性原子を用いた量子計算
　　3-9 イオントラップを用いた量子計算
　　3-10 NMR量子計算
　　3-11 半導体中の核・電子スピンを用いた量子計算
　　3-12 半導体量子ドットを用いた量子計算
　　3-13 超伝導回路を用いた量子計算

2011年度ネットワーク基礎論２　量子情報理論
http://www.quest.is.uec.ac.jp/ogawa/l...

東北大の院。手書きノートPDFによる講義資料。

内容：量子力学の知識を仮定せずに，量子情報理論の入口を案内する。量子通信路符号化定理の理解を目標にする．

　[1] 線形代数と確率論の復習
　[2] 量子系についての基礎事項：量子状態と測定，物理量，系の時間発展，測定と状態変化
　[3] 合成系とエンタングルメント：合成系，エンタングルメント，ベルの不等式，量子テレポーテーション
　[4] 量子通信路
　[5] 量子暗号（量子鍵配送；BB84プロトコル）
　[6] 量子誤り訂正符号，量子秘密分散法
　[7] 量子仮説検定，量子通信路符号化

Quantum Computation and Quantum Information
http://www.johnboccio.com/research/qu...

６９８ページもある！！ケンブリッジ大。

　Part I Fundamental concepts
　1 Introduction and overview
　2 Introduction to quantum mechanics
　3 Introduction to computer science
　Part II Quantum computation
　4 Quantum circuits
　5 The quantum Fourier transform and its applications
　6 Quantum search algorithms
　7 Quantum computers : physical realization
　Part III Quantum information
　8 Quantum noise and quantum operations
　9 Distance measures for quantum information
　10 Quantum error-correction
　11 Entropy and information
　12 Quantum information theory

Quantum Computing:　Lecture Notes
http://homepages.cwi.nl/~rdewolf/qcno...

１１２ページ。オランダの国立数理科学研究所。

　1 Quantum Computing
　2 The Circuit Model and Deutsch-Jozsa
　3 Simon’s Algorithm
　4 The Fourier Transform
　5 Shor’s Factoring Algorithm
　6 Grover’s Search Algorithm
　7 Quantum Walk Algorithms
　8 Quantum Query Lower Bounds
　9 Quantum Complexity Theory
　10 Quantum Encodings, with a Non-Quantum Application 59
　11 Quantum Communication Complexity
　12 Entanglement and Non-locality
　13 Quantum Cryptography
　14 Error-Correction and Fault-Tolerance

Quantum Computing - Lecture Notes
https://homes.cs.washington.edu/~oski...

５７ページ，ワシントン大。

　1 Linear Algebra (short review) 4
　2 Postulates of Quantum Mechanics 5
　3 Entanglement 9
　4 Teleportation 11
　5 Super-dense Coding 15
　6 Deutsch’s Algorithm 16
　7 Bloch Sphere 22
　8 Universal Quantum Gates 29
　9 Shor’s Algorithm 33
　10 Grover’s Algorithm 43
　11 Error Correction 46

Webページの形式で閲覧できる資料：

猫でもわかる量子情報（Index）
http://www.kochi-tech.ac.jp/~cheon/q-...

高知工科大の全卓樹先生。猫でもわかるそうなので，猫を飼っている人はさっそく自分の猫に量子コンピュータを教えてみよう。

内容：基底とは何か，量子暗号，量子回路とアルゴリズム。

量子情報理論
http://quantum.like-smart.com/

古典計算機と量子計算機の違い，量子ゲート，量子フーリエ変換まで。

解説記事のPDF（数式を使って説明。非常にわかりやすいので，一部抜粋してある）：

フレッシュマンに贈る量子計算の概略と基礎 ―量子計算の考え方と量子ゲートのイメージを中心に−
http://www.eng.mie-u.ac.jp/research/a...

２５ページ。三重大，小竹茂夫先生。読み物に近いが内容はよくまとまった学術的な報告。

引用：「本報告は，初学者向けに，厳密さよりもイメージを大切にし，具体的な話しも多く入れることにより，より”もの”に近い分野の人も”量子コンピューター”が何であるのかを理解する助けになればと思う．つまり，量子力学についても十分な知識がないことを前提とした量子コンピューターの基礎を理解するための入門書」

　今なぜ量子コンピューターか？
　量子コンピューターの意味
　量子の不思議な振る舞い
　量子コンピューターとは何か？ ― 何が従来の計算機と違うのか？―
　量子コンピューターとは何か？ ‑量子コンピューターのイメージ‑
　量子コンピューターにおける操作

量子情報処理パラダイム　1．量子計算の基礎
http://www.orsj.or.jp/~archive/pdf/bu...

６ページ。今井浩先生による。「オペレーションズ・リサーチ」誌，2002年。

引用：

1．量子情報処理の講座開始にあたって

「1990年代半ばに量子コンピュータができれば整数の素因数分解が多項式時間で解けることがShorにより示された…公開鍵暗号システムの安全性が量子コンピュータの出現によって壊れることになる．」

「一方，量子情報処理は，セキュリティに関して根本的に異なる新技術も提供してくれる．量子暗号は，量子状態そのものを通信することにより，今の公開鍵暗号の計算量仮定より確固で，これまでとまったく違った形でのセキュアな通信システムを提供しようとしている．その基づく物理原理とは，量子状態は観測すると波束の収縮が起こって状態そのものが変わってしまうことである．」

「このように，量子コンピュータ・量子情報処理は，近い将来，社会に影響をもたらしうるポテンシャルをもっている．」

「量子計算・情報で使う最初の部分は，大学入門の線形代数とその周辺を理解しているとほぼわかる事柄である．」

2．量子力学基礎一量子計算・情報で必要な数理の準備

2．1 密度行列とPOVM測定

「量子状態とはエルミート，非負定値でトレースが1の複素行列で表現される．このような条件を満す行列を，密度行列という．」

「量子状態から何らかの情報を得るには，測定をしないといけない．測定系をPOVM（Positive Operator Valued Measure）と呼ぶ．測定されたとき，量子状態は元の状態から変化する．」

2．2 テンソル積と部分トレース

「高い次元の量子状態から部分のみの情報をえて低次元の量子状態を扱う操作」

2．3 量子状態の変換操作

「テンソル積と部分トレースにより，量子状態を合成したり，部分的に扱えたりと操作することができた．ある量子状態を他の量子状態に変換する一般的な操作は（トレース保存）完全正写像とよばれる」

「純粋状態の量子状態の世界では，純粋状態から他の純粋状態へはUによるユニタリ変換で写され，これが量子計算の中核となる．ユニタリ変換は可逆であるから，量子計算の中核部は完全に可逆な計算となる．」

「事象が観測された場合…波束の収縮・収束」

2．4 量子ビットと部分測定

「どのようにしても1量子ビットのテンソル積に分解することができない．このように分解できない状態をエンタングルしている（entangled）という」

「エンタングルしている場合は，測定値がわかっていれば，収縮した状態もユニークに特定できる．これは通信の手段，計算の単位操作として使えるもので，このエンタングルしていること（エンタングルメント）は量子計算・量子情報で重要な役割を果たす．」

「注意として，空間的に離れた量子系がエンタングルしていると，片方の測定結果が他方の状態に瞬時に影響しているが，このことを通信の手段として用いる場合でも，他に古典的通信路も必要なため，光速を超えて情報を送ることはできない。」

3．量子計算

「1量子ビットに対するユニタリ変換，2量子ビットに対する制御NOT変換という単位演算操作を順次適用。１ビットに対する単位演算として任意のユニタリ変換を使っているが，そのようなものは無数にあり，古典回路でAND，OR，NOTと定数個の単位操作を用いていたのと違う．」

4．おわりに

「量子計算の代表的アルゴリズムであるShorの多項式時間の素因数分解アルゴリズムについては触れなかった。Fourier変換が量子計算で多項式時間で行えることを道具に，素因数分解を周期発見問題に帰着してFourier変換を適用するというもの」

解説論文「量子情報理論とその難しさ - より多くの人に知ってもらうために - 」
http://w2.gakkai-web.net/gakkai/ieice...

１３ページ，林正人先生。電子情報通信学会誌より

引用：「初学者が誤解しやすい点や概念に重点を絞って解説する．例えば，波動関数と密度行列の違い，物理量とPOVM，状態複製と状態準備の違いなどについて丁寧に触れる．同時に，量子情報理論の最近の研究動向を解説する．具体的には状態識別，量子通信路符号化，量子鍵配送など」

１．はじめに

「量子情報理論を習得するには量子力学の知識とシャノン理論を含む情報理論の知識が必要となる…単純に両者の知識を組合せれば理解できるという内容ではない．」

２．量子コンピュータができないと量子情報処理ができない？

「現在のコンピュータに置き換わる量子コンピュータを実現するには，極めて大きなサイズの量子素子のコヒーレンスを保持することが求められる。量子情報処理とは，ハードウェア内部の測定装置の設計までも含むものなので，量子情報処理と量子コンピュータ上の情報処理とが同じものであるとはいえない。量子情報処理は，現在の情報処理と守備範囲が異なる」

３．量子系と光の偏光

「光の波の向きを表す偏光からなる量子系は二次元のヒルベルト空間（複素ベクトル空間）で記述される。…光の偏光状態は垂直偏光，水平偏光の重ねあわせで表現できる。…偏光がクルクルと回っている状態もある」

４．なぜ密度行列なのか？

「量子力学ではd×dのエルミート行列を物理量と呼ぶ。量子情報ではd×dの半正定値エルミート行列でそのトレースが１となるものを密度行列と呼び，これが状態を表していると考える．」

「波動関数では，一定の比率で異なる二つの状態を混ぜ合わせた状態は記述できない．このように波動関数で得られる状態のことを純粋状態と呼ぶ．また，対象となる系がノイズを含んでいる場合，必然的に複数の状態を混ぜ合わせた状態にならざるを得ない．このように，一つの波動関数だけで記述できない状態のことを混合状態と呼ぶ．情報処理を考える上では，不可避な量子論的なノイズを記述する必要があり，そのためには，密度行列によって状態を記述する必要がある．」

「我々の能力で判定できるのは，状態がどの密度行列で記述できるかという情報だけである．したがって，密度行列以上の情報は操作的には意味がないので，量子情報では状態を波動関数の確率的な混ぜ合わせとして記述することはしない」

５．なぜ合成系はテンソル積なのか

「時々，直和空間が合成系を表すと考えがちであるが，合成系を表すのはテンソル積空間である…量子系では独立に状態が準備された場合，状態はテンソル積状態になる」

「個々のqubit上にユニタリ行列を施す操作は最も基本的である」

６．なぜ測定が物理量ではなくPOVMで与えられるか

「物理量は観測可能量であり，対象となる物理系H上のエルミート行列で記述できる．それではエルミート行列を観測すると，その測定値はどのような確率で得られるのであろうか？そのためには結局，POVMを考えることになる」

「POVMは測定を行った場合の各測定値の検出確率の計算に必要最小限の情報を与え，物理量は測定の実現に必要な情報を与える．両者はその得意とする部分が異なる」

７．ハイゼンベルグ描像とシュレーディンガー描像

「状態変化を記述するシュレーディンガー描像と，物理量の時間発展を記述するハイゼンベルグ描像があり，普通これらは等価であることになっている．ハイゼンベルグ描像では，問題を量子化するときあらかじめスカラ量である古典的な物理量を考え，それを単純に作用素（または行列）に置き換えることで，量子化の操作がなされる．このような理由から物理学では，ハイゼンベルグ描像を用いることが標準になっている．」

「量子情報の場合，状態の時間に伴う変化に注目する．そのため，状態の時間発展を考えるシュレーディンガー描像を採用することが多い．」

８．なぜハミルトニアンによる時間発展が余り現れないのか？

「物理学では系の状態がどのように時間発展するか興味がある．系の時間発展はハミルトニアンを用いて記述できるので，ハミルトニアンに関する議論が主流になる。与えられた処理の実現には時間発展の議論が必要となり，ハミルトニアンに関する議論が不可欠である．しかし，どのような処理が最適であるか議論する段階ではハミルトニアンに関する議論が不要になる。」

「量子情報に関しては，十分にデバイス技術と情報処理技術の分業が進んでおらず，未分化の状態である．端的にいうなら，デバイス技術に対応する議論ではハミルトニアンに関する議論は不可欠であり，情報処理技術に対応する議論ではハミルトニアンに関する議論は不要となる．」

９．量子情報ではなぜ時間発展の微分方程式が現れないか？

「時間発展をシステムの入出力関係ととらえ，その入出力関係だけを記述するには，必ずしも微分形式で記述することが有効とは限らない．簡単のため，古典的な系を考えよう．古典的なシステムの入出力関係を記述しそのシステムを用いてどのようなことが可能であるか議論するには，入出力関係の原因を与える微分方程式は必要ではなく，その結果のみを記述する確率遷移行列だけが重要となる．」

１０．コピーと状態識別

「量子力学系では，完全な状態のコピーはできない．もし，同一状態を完全にコピーできると，同一状態を幾らでも複製できる．そうすると，限りなく１００％に近い確率で，状態を同定することができる」

「２つの基底が直交しない場合は，誤り確率0で識別することは不可能である．」

１１．状態の統計的推測

「状態を統計的に推測するということは，あらかじめ定められた手続きで，系の状態を生成するとき，その状態がどの密度行列ρで記述されるか推測する問題である．同じ手続きにしたがって，状態を複数回生成し，合成系上の状態を推測することになる」

１２．なぜ無限次元

「現実の物理系は，ほとんどの場合，有限次元ではなく，無限次元である．量子暗号などのように光子を用いた通信を考えると，光子のなす系は無限次元である」

１３．量子誤り訂正と量子通信路符号化

「一つ目の量子版は，ノイズのある量子的な通信路（媒体）を用いて，誤りなく古典的な情報を送る問題である．二つ目の量子版は，ノイズのある量子的な通信路を用いて誤りなく量子状態を送る問題である．前者はしばしば量子通信路符号化と呼ばれるのに対し，後者は量子誤り訂正と呼ばれる」

１４．量子鍵配送って本当に安全なの？

「量子鍵配送では，遠隔地にいる２者が量子通信と古典的な公開通信を適切に組合せることで，安全に秘密鍵を共有する」

「盗聴があると，通信路が乱される．照合に用いるビット数を十分大きく取れば，極めて高い確率で，照合時に不一致が検出され，盗聴を検出することができる」

１５．むすび

「学部で学習する量子力学で重点が置かれる部分と，量子情報理論の基本概念の間には，一定のギャップがある．前半部では，このギャップを埋めるための説明に重点を置いた．量子情報理論の主要テーマとして，量子情報源符号化やエンタングルメント操作があるが，紙数の都合で今回は割愛した」

量子エンタングルメントによる量子情報処理
http://memoirs.is.kochi-u.ac.jp/Vol26...

２２ページ，高知大。多粒子系エンタングルメント状態の判定と分類

　2　エンタングルメントの相関理論
　3　純粋状態と混合状態
　4　エンタングルメントの判定方法と結果
　5　エンタングルメントの応用

講義用のスライド：

工学者のための量子計算　基礎の基礎
http://www.appi.keio.ac.jp/Itoh_group...

４６ページのスライド，慶応大の伊藤公平先生。

引用：「量子コンピュータとは何か？を学部レベルの知識でも理解できるよう説明し，量子コンピュータ開発にむけていかなる工学技術が必要か考える機会を提供する」

　１．計算のリソース
　２．量子コンピュータとユニタリ変換
　３．量子回路
　４．量子並列性と観測問題
　５．量子力学的離散フーリエ変換
　６．量子計算アルゴリズム
　　a) Deutsch-Jozsaアルゴリズム
　　b) Grover’sデータベース検索アルゴリズム
　　c) Shor’s素因数分解アルゴリズム
　７．量子ビットの求められる性質

Introduction to Quantum　Information Processing
http://www.appi.keio.ac.jp/Itoh_group...

前のスライドの続き。２７ページ。

　Qubitと量子論理ゲート
　量子計算としての量子テレポーテーション
　量子アルゴリズム
　Deutsch-Jozsaのアルゴリズム
　Groverの検索アルゴリズム
　Shorの素因数分解アルゴリズム
　Physical Realization

Introduction to NMR Quantum　Information Processing
http://www.appi.keio.ac.jp/Itoh_group...

前のスライドの続き，２２ページ。

　復習
　　量子計算のルール
　NMR量子計算の仕組み
　　熱平衡状態の記述
　　初期化の方法
　　1-qubitの回転操作と制御NOTの実現
　実験例
　　Deutsch-Jozsaのアルゴリズムの実験
　　論理ラベルの実験

量子計算基礎
http://www.quest.is.uec.ac.jp/q-schoo...

東工大の河内亮周先生。５５ページのスライド。

　計算って何？
　　数理科学的に「計算」を扱うには・・・
　量子力学を計算に使おう
　　量子情報とは？
　　量子情報に対する演算＝量子計算
　一般的な量子回路の構成方法

動画で勉強：

慶応大の「量子コンピュータ　授業」の，全動画へのリンク集
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140408/p1

量子コンピュータや量子テレポーテーションの知識を学ぶ動画
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140601/p2

最近の研究の一部：

量子情報物理学　12月4-6日　量子計算と基礎物理
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~yit...

京大の藤井啓祐先生。５８ページのスライド。

　はじめに（なぜ量子計算？）
　ユニバーサル量子計算
　測定型量子計算
　古典シミュレート困難性

光子を用いた量子回路の実現と展望
http://kincha.kek.jp/kincha032_takeuc...

５４ページのスライド。竹内繁樹先生。

　量子情報処理とその現状
　光子を用いた量子計算
　量子制御ノットゲート
　光量子回路「量子もつれ合いフィルター」
　量子メトロロジーへの応用

量子情報の数学的基礎：量子測定理論と量子集合論
http://mathsoc.jp/meeting/sougou/2008...

名大，15ページ。

引用：量子計算機が物理的に実現可能かどうかを巡って，活発な研究が進められている．実現可能性の問題の主要部分は，環境や制御系との相互作用に由来するデコーヒーレンスと呼ばれる雑音の問題である

　von Neumannの公理系
　von Neumannの測定モデル
　Heisenbergの不確定性原理
　自由質点の位置の反復測定に関する標準量子限界
　CavesによるSQLの擁護
　測定公理の一般化
　測定誤差と擾乱
　von Neumannの測定モデルと不確定性原理
　収縮状態測定のモデル
　普遍的不確定性原理
　Wigner-Araki-Yanaseの定理の定量化
　量子計算実現に関する量子限界
　量子集合論

（２）数式を使わない，一般向けの解説資料

解説記事（※数式を使わないもの）

量子コンピュータ研究の最前線
http://www.ntt.co.jp/journal/1206/fil...

５ページ。NTT物性科学基礎研究所の山口浩司先生。NTT技術ジャーナルより。内容は一般人向け。

量子物理の進展と応用
量子コンピュータ研究の課題
さまざまな物理系による量子ビット
量子の世界が示す多様性と将来

量子情報技術の潮流　量子計算・量子暗号の実現に向けて
http://www-imai.is.s.u-tokyo.ac.jp/qc...

２０ページ。科学技術振興機構の「今井量子計算機構プロジェクト」。

　量子計算・量子暗号の実現に向けて
　21世紀の夢に向かって
　従来型コンピュータには解けない問題がある
　期待できる量子コンピュータの能力
　量子情報技術の基礎になっている量子力学の原理とは
　重ね合わせを用いた量子コンピュータの仕組み
　量子コンピュータの計算の仕組み
　量子コンピュータの実現に向けた課題

一般向けのスライド：

量子情報科学概論
http://www.quest.is.uec.ac.jp/q-schoo...

１９ページあるスライド，林正人先生。

引用：コンピュータの階層構造のうち，ハードウェア・物理層から根本的に変わる。難解さの例：ある概念の量子版が一意に定まらない（例：誤り訂正）。量子系の統計学（量子統計推測）では，データから密度行列を推測。量子暗号は，複数ある量子情報処理技術の中で最も実用化に近い。

Wikipediaの解説：

量子情報 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8...

古典的情報は理論計算機科学において、0と1の二値(ビット)によって表現される。一方、量子情報は0と1の二値だけでなくそれらの重ね合わせの状態も含む。これは量子ビット(qubit)と呼ばれる。また、量子情報は古典情報と異なり任意の情報の複製を作ることができない。そして、量子情報が古典的情報と大きく異なるのは、情報を一度観測したら、その量子情報を破壊してしまうことである。

1ビットと1量子ビットの情報量は全く同じである。これは量子情報を観測すると古典的な情報に収束するため

量子暗号では、観測によって重ね合わせ状態が収束して古典的状態になるという量子情報の性質を利用して、盗聴者の影響を排除する技術が確立できるため、通常の暗号通信では考えられないほど強固な通信を行えると期待

量子コンピュータ - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8...

量子力学的な重ね合わせを用いて並列性を実現するコンピュータ

n量子ビットあれば、2^nの状態を同時に計算できる

量子チューリングマシンと古典チューリングマシンの計算可能性が等価

量子暗号 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8...

量子鍵配送のことを指す。

安全性が計算量的でなく情報理論的。量子暗号は量子情報理論の、現在のところほぼ唯一の現実的な応用