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多様体上の「積分幾何学」の,入門用講義ノートPDF。幾何学的な確率論への応用を学習

数学 講義ノート リンク集 幾何学


積分幾何学」の講義ノート。


微分幾何学と異なり,積分幾何学は範囲が狭い。

導入として,積分幾何学を使えば古典的な図形クイズを計算できるので便利だ。

例えば有名な「ビュフォンの針」や「ベルトランのパラドックス」などの問題に,確率的な測度の観点から厳密な解を与えることができる。

また発展としては,確率幾何学・ステレオロジーなどの応用がある。


※さきにこちらの講義ノートで,ルベーグ積分と測度論の基礎を身につけておくとよい。

積分幾何学を学ぶための資料

日本語のかんたんな解説ページ:

幾何学的確率に関する教材について
http://izumi-math.jp/W_Takakura/k_kak...

  • 8ページ。中高生向け。
  • Keywords:幾何学的確率、測度、モンテカルロ法、Buffonの針、De Moivre-Laplaceの定理
  • 引用:「幾何学的確率については、一般に次のように定式化することができる。例えば、平面上にある可測な領域Gがあり、その中に他の領域gが含まれているとする。領域Gの中へ1つの点が無作為に投げ込まれるとき、その点が領域gの中へ落ちる確率はいくらかという問題が考えられる。ここで、「1つの点が領域Gの中へ無作為に投げ込まれる」という意味は、投げ込まれる点は領域G内の任意の点へ落ちることができ、それがG内のある部分の中へ落ちる確率はその部分の測度のみに比例し、その部分の位置や形状には依存しないということである。」


積分幾何学
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/...

  • 内容:ベルトランのパラドックス,ビュフォンの針,クロフトンの公式。
  • 紹介文:ランダムに配置された図形の幾何学は「積分幾何学」と呼ばれている.  測度の計算には積分がでてくるからであるが,種々の図形について変位で不変な測度を求め,確率測度に基づいてつくられた幾何学要素の確率論という意味で「確率幾何学」とも呼ばれている.…微分幾何学に較べれば積分幾何学の分野は狭いものであって,むしろ広い意味での微分幾何学の一分科,一部門とみなしてもよいものである.


積分幾何学 とは - コトバンク
http://kotobank.jp/word/%E7%A9%8D%E5%...

  • 幾何学的確率の問題として知られた問題がある。例えば(ユークリッド)平面におかれた二つの円周S1,S2に対して,その一方S1に交わる直線がもう一方S2にも交わる確率を求めよというものなどがそれである。このような問題に対して基本的であるのは,平面における直線の種々の集合の大きさをうまく測ることである。


積分幾何学 - ORWiki
http://www.orsj.or.jp/~wiki/wiki/inde...

  • "ビュッフォンの針"のように図形に関係した確率を幾何確率といい, これらの理論的な部分は, 積分幾何学を基礎にしている.
  • 積分幾何学の基礎概念とは合同変換によって不変な測度(積分)を求めることにあり, 対象が点, 直線, 一般的な図形等でそれらの集合の不変な測度がそれぞれ得られる.
  • その測度(積分)に関係して, 直線についてはクロフトン (Crofton) による, 一般的な図形についてはブラシュケ (Blaschke) による, きれいな主公式が存在する.
  • 積分幾何学は幾何確率に応用可能であるばかりでなく, もっと広く図形に関する様々な局面で基礎となり得る


積分幾何学をがっつり学ぶためのテキスト・スライド:

集中講義,積分幾何学
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki...

  • 千葉大,70ページ。
  • 内容:外積代数と多様体上の積分,面における交叉積分公式
  • 紹介文:ユークリッド空間内の曲線の長さ、曲面の曲面積、立体図形の体積等の積分で定義される幾何学的量の性質や、それらの量の間の関係について解説し、積分幾何学の入門を目的とする。


積分幾何学・集中講義
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki...

  • 首都大学東京,79ページ。一つ前と同一の作者によるもので,テンソル代数から始めているあたりが共通。
  • 1 多様体上の積分
  • 2 Lie群と等質空間
  • 3 等質空間の積分幾何学
  • 紹介文:多様体上の積分に関する準備の後、Riemann等質空間におけるPoincareの公式のHowardによる定式化を解説する。実空間形と複素空間形の場合にPoincareの公式をさらに詳しく記述する。


Integral geometry - measure theoretic approach and stochastic applications「積分幾何学・測度論的なアプローチと確率論への応用」
http://home.mathematik.uni-freiburg.d...

  • 68ページ,ドイツのフライブルク大。
  • 1 Introduction 3
  • 2 Elementary mean value formulae 4
  • 3 Invariant measures of Euclidean geometry 10
  • 4 Additive functionals 24
  • 5 Local parallel sets and curvature measures 29
  • 6 Hadwiger’s characterization theorem 39
  • 7 Kinematic and Crofton formulae 42
  • 8 Extension to random sets 48
  • 9 The kinematic formula for curvature measures 58


INTEGRAL GEOMETRY OF TENSOR FIELDS(積分幾何学とテンソル場)
http://www.math.nsc.ru/~sharafutdinov...

  • 259ページ。ロシア科学アカデミーのソボレフ研究所による。
  • 1 Introduction 13
  • 2 The ray transform on Euclidean space 21
  • 3 Some questions of tensor analysis 81
  • 4 The ray transform on a Riemannian manifold 111
  • 5 The transverse ray transform 139
  • 6 The truncated transverse ray transform 173
  • 7 The mixed ray transform 199
  • 8 The exponential ray transform 219
  • 引用:What is integral geometry? Since the famous paper by I. Radon in 1917, it has been agreed that integral geometry problems consist in determining some function or a more general quantity (cohomology class, tensor Oeld, etc.), which is deOned on a manifold, given its integrals over submanifolds of a prescribed class. In this book we only consider integral geometry problems for which the above-mentioned submanifolds are one-dimensional.


幾何学的確率論をがっつり学ぶテキスト:

Integral Geometry & Geometric Probability - IntGeomSlides.pdf
http://www.math.utah.edu/~treiberg/In...

  • 64ページ,ユタ大の講義資料スライド。
  • 1 Buffon’s needle problem, Firery’s dice problem
  • 2 Kinematic measure.
  • 3 Poincare’s Formula for average number of intersections of curves.
  • 4 Cauchy’s Formula for the average projected length.
  • 5 Crofton’s Formula for the average chord length.
  • 6 Santal o’s & Blaschke’s Formuls for the averages over the of the intesection of two domains.
  • 7 Application to the Isoperimetric Inequality.


Introduction to Geometric Probability
http://qh.eng.ua.edu/e_paper/e_book/G...

  • 191ページ,アラバマ大の講義資料。
  • 1 The Buffon needle problem 1
  • 2 Valuation and integral 6
  • 3 A discrete lattice 13
  • 4 The intrinsic volumes for parallelotopes 30
  • 5 The lattice of polyconvex sets 42
  • 6 Invariant measures on Grassmannians 60
  • 7 The intrinsic volumes for polyconvex sets 86
  • 8 A characterization theorem for volume 98
  • 9 Hadwiger's characterization theorem 118
  • 10 Kinematic formulas for polyconvex sets 146
  • 11 Polyconvex sets in the sphere

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