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「関数解析学」の講義ノートPDF (Functional Analysis) 入門用の教科書

数学 講義ノート リンク集 解析学


関数解析学の講義ノートPDF。

入門用の教科書として使える資料。


関数解析は,物理や工学,ファイナンスといった応用数学の分野でも必要になる。

  • (関数の)正規直交基底。フーリエ級数など
  • (量子力学で使うような)作用素
  • (デルタ関数などの)超関数

こういった「物理で使う数学」に対して,厳密に数学的な裏づけを与えることができる。


また,「偏微分方程式の解となる関数の性質を,あたかも線形代数のように考える」ためにも必要。

関数解析は,応用数学の理論的な裏づけだと思えばよい。


下記のノートで,関数解析学を独学できる。問題と解答つき。


※なお関数解析の前提事項として,集合と位相のノートルベーグ積分のノート複素函数論のノート線形代数のノートフーリエ解析のノートをそれぞれ参照。


関数解析学の講義ノート

しっかり学べる教科書PDF:

関数解析入門
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yama...

  • 名古屋大,106ページ。学生の自習用に公開されたPDF。
  • 「授業は、「フーリエ解析続論」の趣もある。具体的なフーリエ解析を知らずして何の関数解析か。…関数の間に「距離」を設定すると、ベクトル空間における内積から導入されるそれと形式上よく似たものであることがわかってくる。このことをより組織的に行うと、微積分の線型代数化、あるいは無限次元線型代数としての解析学、といった側面が見えてくる。これが、関数解析学の基本的なアイデアである」

 1 道の糧など
 2 バナッハ空間
 3 たたみ込みと近似定理
 4 ヒルベルト空間の幾何学
 5 線型汎関数
 6 バナッハの有界性定理
 7 ヒルベルト空間上の線型作用素
 8 フーリエ変換
 9 作用素のスペクトル
 10 スペクトル分解定理
 11 コンパクト作用素


2010年度 関数解析学
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/...

  • 名古屋大の数理学科の講義資料。

 具体例からの準備
 バナッハ空間とヒルベルト空間
 ヒルベルト空間続論
 有界作用素
 閉作用素
 リゾルベントとスペクトル
 共役作用素(ヒルベルト空間の場合)
 ハーン・バナッハの拡張定理とその応用
 ベールのカテゴリー定理とその応用


解析学III 関数解析
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/sh/pdf...

  • 東京理科大の講義ノート,30ページ。

 1 線形代数復習
 2 ノルム空間
 3 バナッハ空間
 4 ヒルベルト空間
 5 線形作用素
 6 三大基本原理(一様有界性原理,開写像定理,閉グラフ定理)
 7 線形汎関数


Topics in Real and Functional Analysis
http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/f...

  • 312ページ,ウィーン大学の講義ノート。
  • 偏微分方程式の話題から始めている。測度論やルベーグ積分の話をしたあとで,非線形の関数解析も扱い,ナビエ・ストークス方程式のような非線形の偏微分方程式も取り上げる。

 Part 1. Functional Analysis
  Chapter 0. Introduction
  Chapter 1. A first look at Banach and Hilbert spaces
  Chapter 2. Hilbert spaces
  Chapter 3. Compact operators
  Chapter 4. The main theorems about Banach spaces
  Chapter 5. More on compact operators
  Chapter 6. Bounded linear operators
  Chapter 7. Almost everything about Lebesgue integration
 Part 2. Real Analysis
  Chapter 8. The Lebesgue spaces L^p
  Chapter 9. More measure theory
  Chapter 10. The dual of L^p
  Chapter 11. The Fourier transform
  Chapter 12. Interpolation
 Part 3. Nonlinear Functional Analysis
  Chapter 13. Analysis in Banach spaces
  Chapter 14. The Brouwer mapping degree
  Chapter 15. The Leray Schauder mapping degree
  Chapter 16. The stationary Navier Stokes equation
  Chapter 17. Monotone maps


Functional Analysis
http://www.maths.lancs.ac.uk/~belton/...

  • オックスフォード大の講義ノート,127ページ。

 1 Normed Spaces
 2 Linear Operators
 3 Dual Spaces
 4 Normed Algebras
 5 Invertibility
 6 Characters and Maximal Ideals


関数解析
http://research.kek.jp/people/hkodama...

  • 15ページ。定理や公式のまとめ。


フーリエ変換を中心とした,前提事項の少ない読みやすいノート:

フーリエ解析とヒルベルト空間
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yama...

  • 名古屋大,56ページ。
  • 「フーリエ解析は、常微分方程式・複素関数とともに応用解析学の「御三家」を成し、またその利用のされかたの違いから、大まかに言って数学・物理学・工学の三様の立場からのアプローチがあるようです。この講義ノートでは、もともとのフーリエの立場がそうだったように、基本のアイデアが様々な形に展開されていく様子を提供してみたいと思っております」

 1 振動現象とオイラーの公式
 2 内積の幾何学
 3 フーリエ級数
 4 微分とフーリエ級数
 5 微分方程式三題
 6 フーリエ級数からフーリエ変換へ
 7 フーリエ逆変換
 8 フーリエ変換と内積
 9 フーリエ変換と超関数
 10 フーリエ変換で解く微分方程式
 11 線型汎関数と直交分解


Webページとして閲覧できるノート:

関数解析インデックス
http://homepage3.nifty.com/rikei-inde...

  • 位相空間論を前提事項としている。

 第1章(A) 関数空間の基本
 第2章(B) スペクトル
 第3章(C) フーリエ解析


明治大学の,Webページ形式のノート


関数解析入門 I 内積空間ノート1
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lab...

  • 内積空間から,Lax-Milgram の定理, Stampacchia の定理まで


関数解析入門 II 積分・関数空間ノート1
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lab...

  • ルベーグ積分とバナッハ空間について


関数解析入門 III 雑題
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lab...

  • フレッドホルムの定理,写像,ヒルベルト変換など。


Banach 空間における微積分の基本定理
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lab...

  • 微分積分学の様々な言い換えと拡張。


問題と解答:

2005年度前期解析学VII・関数解析学(数学科4年生・大学院生)
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki...

  • 東大,期末テストの問題と解答。


2004年度前期解析学VII・関数解析学(数学科4年生・大学院生)
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki...

  • 同上。


応用:

関数解析の基礎とウェーブレット
http://wwwcs.ce.nihon-u.ac.jp/lab/mor...

  • 日大,179ページ。

 1 解析の基礎、有界変動関数の微分
 2 Lebesgue積分
 3 不定積分とその微分、平均値の定理
 4 Banach空間、Hilbert空間
 5 Fourier級数、直交多項式
 6 Fourier変換
 7 線形汎関数、Riesz基底
 8 ウェーブレット解析の基礎
 9 直交ウェーブレットの例
 10 ウェーブレットによる展開と補間公式
 11 コンパクトな台をもつウェーブレット
 12 積分ウェーブレット変換
 13 時系列の調和ウェーブレット解析

動画で学ぶ:

関数解析学のオンライン講義を,Youtube動画で。コロラド大の授業
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140615/p4

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