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偏微分方程式の講義ノートPDF。解き方や分類の基礎を学ぶ入門用の参考書

数学 講義ノート リンク集 解析学


偏微分方程式(Partial Differential Equations,PDE)の講義ノートPDF。

熱拡散や波動方程式,電磁場のポアソン方程式,流体への応用,フーリエ解析による解法などなど。

独学に使える資料を集めた。


世の中は偏微分方程式だらけ。

  • 時間と位置の両方に依存する量は,すべて偏微分方程式。
    • たとえば熱は,時間とともに変わるし,位置によっても変わる。(=時間と位置の偏微分が現れる)
    • 弦・膜の振動も,
    • 量子力学の波動関数も,
    • 流体の挙動もしかり。
  • 3次元空間でモデルを作ると,x・y・z方向それぞれの偏微分が現れるから,やはり偏微分方程式になる。
  • 変化の要因が複数あれば,何でも偏微分方程式になる。
    • 変化の原因が1つしかないシンプルな現象って,世の中にはあまりない。

そういうわけで,物理や工学では偏微分方程式のオンパレードである。


ここにアレルギーがあると,理工系の勉強が必ずどこかでつっかえる。

マスターしなくてもいいから,パターンやセオリーを知っておこう。


※なお数学の定石として,多変数の問題は一変数に帰着させて解く。

同じく,偏微分方程式(PDE)も常微分方程式(ODE)に帰着させて解く。

この前提・基礎となる常微分方程式を学ぶには,こちらの講義ノートを使うとよい。

偏微分方程式の講義ノート

しっかり学べるPDF:

解析学C講義ノート 偏微分方程式入門
http://www7b.biglobe.ne.jp/~yoshikawa...

  • 九州大の数学科。よく網羅されていて説明もちゃんとしている。

 第1章 偏微分方程式とは何か
 第2章 基本的な線形偏微分方程式
 第3章 1階の偏微分方程式
 付録 補遺としての種々の話題
 付録 関数解析から


応用微分方程式論 (2013年度前期)
http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~ka...

  • 東北大,55ページ。特殊関数およびグリーン関数も。前半は常微分方程式。

 第1回 2階線形常微分方程式の級数表示解I
 第2回 2階線形常微分方程式の級数表示解II
 第3回 Legendre の微分方程式と級数表示解
 第4回 Bessel の微分方程式と級数表示解
 第5回 超幾何微分方程式と合流型超幾何微分方程式の級数表示解
 第6回 2階線形微分方程式の積分表示解
 第7回 Legendre の微分方程式の積分表示解
 第8回 Bessel の微分方程式の積分表示解
 第9回 超幾何微分方程式と合流型超幾何微分方程式の積分表示解
 第10回 偏微分方程式の固有値問題とグリーン関数
 第11回 グリーン関数の基本的な性質
 第12回 Laplace 方程式および Poisson 方程式の Green 関数
 第13回 Helmholtz 方程式の Green 関数
 第14回 Sturm-Liouville 方程式の Green 関数


Partial Differential Equations
http://www.math.uni-leipzig.de/~miers...

  • ライプツィヒ大,205ページ。

 1 Introduction
 2 Equations of first order
 3 Classification
 4 Hyperbolic equations
 5 Fourier transform
 6 Parabolic equations
 7 Elliptic equations of second order


Introduction to Partial Differential Equations
http://mathcomp.uokufa.edu.iq/staff/a...

  • 169ページ。イラクのクーファ大。
  • 引用:「Our goal here is to develop the most basic ideas from the theory of partial differential equations, and apply them to the simplest models arising from physics.」

 1 Power Series 1
 2 Symmetry and Orthogonality 29
 3 Fourier Series 62
 4 Partial Differential Equations 81
 5 PDE’s in Higher Dimensions 115

電通大の「応用解析B」のスライド。懇切丁寧でわかりやすい。おそらく入門に一番よい:

第10回
http://www.rmc.mce.uec.ac.jp/webclass...
 3.1 偏微分方程式の基本概念 2階の線形偏微分方程式
 3.2 振動する弦のモデル化 波動方程式の導出
 3.3 変数分離法とフーリエ級数を利用した偏微分方程式の解法
 3.4 波動方程式のダランベールの解


第11回
http://www.rmc.mce.uec.ac.jp/webclass...
 3.5 熱方程式:フーリエ級数解


第12回
http://www.rmc.mce.uec.ac.jp/webclass...
 3.7 振動する膜のモデル化と2次元波動方程式の導出
 3.8 長方形膜:2重フーリエ級数の利用


Webページとして閲覧できる偏微分方程式のノート:

地球惑星科学のための物理数学II演習
http://www.sci.hokudai.ac.jp/~inaz/le...

  • 北大。一通り網羅されている。オンラインの辞書として使える。

 線形常微分方程式
 フーリエ展開
 スツリム=リュービル問題
 熱拡散方程式(有限区間)
 熱拡散方程式(無限区間)
 ラプラス方程式(全空間)
 ラプラス方程式(有限領域)
 波動方程式(無限領域)
 波動方程式(有限領域)
 数値解法


偏微分方程式
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp...

  • 芝浦工大。演習問題と略解つき。

 偏微分方程式の解
 偏微分方程式の3つの解法
 3つの境界値問題

フーリエ解析をメインにしたノート:

フーリエ解析と偏微分方程式 メモ
http://www.rinku.zaq.ne.jp/bkdit405/b...

  • 103ページ。大阪工業大学,「応用数学II」の講義ノート。フーリエ変換による偏微分方程式の解法。

 第1章 フーリエ級数及びフーリエ変換
 第2章 2次元偏微分方程式
 第3章 付録1−高速フーリエ変換
 第4章 付録2−座標変換と2階偏微分方程式の表現


講義録 フーリエ解析
http://home.hiroshima-u.ac.jp/kyoshida/FourierAnalysis/list2011(b).html

  • 広島大の講義資料。

 第 1 節 フーリエ級数
 第 2 節 フーリエ変換
 第 3 節 フーリエ解析と偏微分方程式

流体力学など各分野への応用:

偏微分方程式論 序説
http://www7.ocn.ne.jp/~kawa1/pardif.pdf

  • 44ページ。日大名誉教授が作成。流体力学への応用が詳しい。

 第1章 偏微分方程式の分類
 第2章 1次元理想流体の方程式
 第3章 3次元理想流体の方程式


ベクトル解析,微分方程式,流体力学
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenk...

  • 京大,20ページ。流体への応用がメイン。

 I ベクトル解析:divとcurl
 II 流体方程式を解こう
 III 流体方程式の解法
 IV 流体方程式の解法
 V モデル方程式


偏微分方程式入門 ― 数理ファイナンスとともに
http://www.math.kobe-u.ac.jp/publicat...

  • 一橋大らしい,ファイナンスへの応用。40ページ。

 1. Brown運動と拡散方程式
 2. 株価変動モデルとBlack-Scholes方程式
 3. 拡散方程式の解法
 4. Black-Scholes方程式の解法
 5. 自由境界問題


数学的にがっつりした議論,偏微分方程式

偏微分方程式論入門2006
http://www.math.titech.ac.jp/~inoue/P...

  • 東工大の数学専攻の講義資料。

 第1回:偏微分方程式とは?ご利益は?
 第2回:特性曲線の方法
 第3回:具体例の計算
 第4回:Feynman経路積分導入の経緯とFeynman測度の非存在
 第5回:調和振動子について
 第6回:特性曲面の定義、Cauchy-Kavalevskayaの定理
 第7回:Cauchy-Kavalevskayaの定理(続)
 第8回:H.Lewyの反例
 第9回:Fourier変換とその応用1
 第10回:Fourier変換とその応用2
 第11回:Fourier変換とその応用3
 第12回:Fourier変換とその応用4
 第13回:Dyadic decomposition, H.Lewyの反例-revisited2
 第14回:H.Lewyの反例-revisited2


物理数学II (2013)
http://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/...

  • 東大の講義資料。線形代数としての偏微分方程式

 線形偏微分方程式
 特殊関数
 回転群


Partial Differential Equations: Graduate Level Problems and Solutions
http://www.math.ucla.edu/~yanovsky/ha...

  • 396ページ,カリフォルニア大。ハンドブックという位置づけ。

 1 Trigonometric Identities 6
 2 Simple Eigenvalue Problem 8
 3 Separation of Variables: Quick Guide 9
 4 Eigenvalues of the Laplacian: Quick Guide 9
 5 First-OrderEquations 10
 6 Second-Order Equations 14
 7 WaveEquation 23
 8 Laplace Equation 31
 9 HeatEquation 45
 10 Schrodinger Equation 52
 11 Problems: Quasilinear Equations 54
 ・・・
 19 Contraction Mapping and Uniqueness - Wave 271
 20 Contraction Mapping and Uniqueness - Heat 273
 21 Problems: Maximum Principle - Laplace and Heat 279
 ・・・
 31 Laplace Transform 385
 32 Linear Functional Analysis 393
 

動画で学ぶ:

偏微分方程式をYoutube動画で勉強
http://study-guide.hatenablog.jp/entry/20140607/p2

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