大学１年生で学ぶ数学「解析学・微積分」の要点まとめ，勉強法の解説。 入門用に全体像・概要をわかりやすく紹介
大学一年生で学ぶ数学のうち，「解析学の基礎（微積分）」について
勉強法やポイントを，図表を交えつつ分かりやすく解説。
つまずきがちな微積分の全体像をつかめる。
解析学は，「微小量の厳密な理論」だ。
これを学ぶ理由・価値は何なのか？
また，どのように全体像を把握して学習を進めたらよいのか。
下記は，新入生が「解析学の概要」を理解する助けになるだろう。
- （要約） 解析学とは，一言でいうと「微小量の理論」であり，微積分や極限のこと
- （特徴） 無限小のレベルでの「精密さ・厳密さ」を追求する学問
- （価値・意義） 微小量を制する者は，巨大な量をも制する。厳密な理論を展開できるから
- （要点のつながり） 大学１年生の「解析学」のポイントを追いかけるストーリー
- （ステップ１）「多重積分」のためには，１変数での積分や微分が必要。
- （ステップ２）１変数の微分のためには，「関数列」や「点列」の極限操作が必要。
- （ステップ３）「点列の極限」と「関数列の極限」には，収束法や連続性に応じた橋渡しが必要。
- （ステップ４）点列の収束のために「ε-δ論法」が必要。（※最大のヤマ場）
- （ステップ５）「極限の収束」を定義できれば，実数上に存在するさまざまな数や区間を正しく定義できる。
- （実用性） 無限小がわかると，精度のよい「近似」が可能になる（テイラー展開）
- （１年生の終盤） 多変数の解析学は，「ベクトル解析」の一歩手前まで
- （まとめ）要点の復習
- （その先へ） 大学２年生からの発展
（要約） 解析学とは，一言でいうと「微小量の理論」であり，微積分や極限のこと
大学の１年次の数学では，主に「解析学」と「線形代数」の２つを学ぶ。
このうち「解析学」とは，つまり微積分のことだ。
極限や無限を使って，関数の性質を調べ計算する。
解析学のカリキュラムでは，１年生の夏と冬で，
それぞれ以下のようなことを学ぶ。
- 解析学（夏）：
- １変数の，微分と積分。
- ε-δ論法による極限や，関数の収束の扱い方。
- 解析学（冬）：
- ２変数および多変数の，微分と積分。
- 複雑な面積や体積の計算により，重積分をつかいこなす。
そして教官にもよるが，１年間の中でたいてい，常微分方程式の解法を教わる。
微分，積分，そして微分方程式。
これが解析学の「１年間の成果」だと言える。
１年次の解析学は，下記のPDFまとめで独学できる。
大学の数学で，微積分（解析学）の講義ノートPDF。演習問題と解答付き（大学１年で学ぶ，１変数と多変数の微分積分学のオンライン教科書） - 主に言語とシステム開発に関して
http://language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20140509/UniversityCalculusPDFNoteLinks
- 微分には極限やε-δ論法，級数展開，収束などが含まれる。
- 積分には線・面・体積の積分や広義積分を含む。
- 良質な講義資料を集めた。演習問題と解答もある。おかげで，高い参考書を買わなくて済む。
しかし，無料でぶあつい教科書PDFが手に入るのはありがたいが，
まずは手っ取り早く，全体の概要だけを知りたい。
という人も多いだろう。
そういう人のために，解析学のポイントのつながりを解説するのが本記事だ。
（特徴） 無限小のレベルでの「精密さ・厳密さ」を追求する学問
解析学とは，「無限小のレベルで厳密に正しいかどうか」を突き詰める学問だ。
どれほど細かくしても正しい，という精緻（せいち）で精密な理論を構築する。
たとえば，関数 f(x) と g(x) を比べて，
遠くから眺めると「だいたい一致している」ように見える。
しかし，よく見ると g(x) には，いくつか小さなでっぱりがあって，
細かいところで f と g は互いに一致していないことが分かったとする。
このでっぱりの大きさはεだ。
εをものすごく小さくできる場合，どこまで小さければ，
「f(x) と g(x) は互いに等しい」
と言えるのだろうか？
